Espacios Vectoriales

Capitulo 4

El Determinante

E-mail Autor:josearturobarreto@yahoo.com Venezuela

ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO
JOSE ARTURO BARRETO,M.A.
Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com
Páginas Web:

www.abaco.com.ve

www.miprofe.com.ve

www.abrakadabra.com.ve

CAPITULO 4.
DETERMINANTES
Objetivos
Al terminar el capítulo, el estudiante deberá estar en capacidad de:
1) Calcular eldeterminante de matrices de pequeña dimensión por medio de la regla de sarrus (n=3) y
el desarrollo por cofactores (en todos los casos).
2) Utilizar las propiedades de multilinealidad del determinante (respecto a operaciones elementales por
filas y/o columnas), para simplificar las “entradas” de la matriz, reduciendo a cero elementos
convenientes,, o filas y/o columnas enteras, con el fin decalcular fácilmente el determinante.
3) Determinar si una matriz es inversible estudiando su determinante y calcular inversas (para matrices
de orden pequeño), utilizando la fórmula de la adjunta.
4) Resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden pequeño utilizando la regla de Cramer.

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4.1 EL DETERMINANTE
En este capítulo dedicaremos un espacio “brevísimo” a la teoría de determinantes, la cual es un tema clásico,
ya que deseamos dedicar el espacio restante a otros temas de mayor “sabor”.
El objetivo fundamental de este capítulo es relacionar la no-singularidad o inversibilidad de una matriz
cuadrada con el hecho deque su determinante sea diferente de 0.
El tratamiento del tema será informal y “descriptivo”
A cada matriz cuadrada (aij)nxn , de orden n, asociaremos un número llamado el determinante de A, el cual
simbolizaremos como det(A) o A.
Daremos una definición por inducción así:
i)
Primero definiremos el determinante de A para matrices cuadradas de orden 1, así: Si A=(a11),
definimos A= a11.ii)
Si
a11 a12
A=
, definiremos A= a11a22 - a21a12
a21 a22
Es decir , si A= (2), entonces A= 2.
4
1

Si

iii)

2
3

, definiremos A= 4x3 – 1x2 = 12 – 2 = 10

A=

Luego definiremos el determinante de una matriz de orden n > 2, en términos de
determinantes de matrices de orden n-1 así:
Sea A = (aij)nxn, , una matriz cuadrada de orden n. Para cada elemento aij de A,definiremos
menor Mij de aij, como el determinante de la submatriz de orden n-1 obtenida al suprimir la fila iésima y la columna j-ésima (o fila i, columna j) de A, y el cofactor Cij de aij, como Cij = (-1) i+j Mij .
Ejemplo:
A=

1 3 2
1 1 4
-1 2 1

Al eliminar las filas 1, columna 1 de A, obtenemos el menor M11 =
1x1 – 2x4 = -7.

1 4
2 1

=

1 4
-1 1

=

Su cofactor es C11 = (-1)1+1 M11 = 1x (-7) = -7.
De forma similar
A=

1 3 2
1 1 4
-1 2 1

Al eliminar las filas 1, columna 2 de A, obtenemos el menor M12 =
1x1 – (-1)x4 = 5.
Su cofactor C12 = (-1) 1+2 M12 = (-1)3 5 = -5.

De forma similar podría calcularse C13 = (-1) 1+3 M13 = 14 x 3 =3. M13 es el determinate de la
submatriz de orden 2 que queda al suprimir la 1ra. fila y la 3ra. columna de A.
El cofactorC21 puede calcularse como (-1)2+1M21 = - M21. En donde M21 es el determinante de la
submatriz obtenida de A al eliminar la 2da. fila y la 1ra. columna.

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A=

Luego

1 3 2
1 1 4
-1 2 1

3 2
M21 =

= 3x1 – 2x2 = -1 . De dondeC21 = - M21 = -(-1) = 1.
2 1

De manera sucesiva se calcularán C22 = 3, C32 = - 2, C33 = - 2. La matriz de los cofactores de

A=

1 3 2
1 1 4
-1 2 1

Sería

-7 -5 3
1 3 -5
10 -2 -2
Una matriz muy importante es la adjunta de A (adj A), la cual se define como la traspuesta de la
matriz de los cofactores. En este ejemplo

Adj A =

-7 1 10
-5 3 -2
3 -5 -2

Si efectuamos...