espacios vectoriales

Espacio Vectorial.
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos deun espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Notación.
Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo, se distinguen.
Los elementos de como:
Se llaman vectores.
Caligrafías de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como:
Se llaman escalares.

Definición.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo(como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:


Operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir


2) tenga la propiedad asociativa, es decir


3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:operación externa tal que:
5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de escalares:



Observaciones.

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que eshabitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.
Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:
Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinición del tipo y cumpliendo las 8 condiciones exigidas.
Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abelianorespecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.
Si no se dice lo contrario:
.

Propiedades.

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3:
Supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad4:
Supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces, como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :
Supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :
Supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces, como el neutro es único:Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si
Si es cierto.
Si entonces:

Notación
.
Observación

Si
Si
Sub-espacio vectorial.
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:


Hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de, y como consecuencia tenemos que es unespacio vectorial sobre.
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar sub-espacios vectoriales, para ello sería útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectoriales.
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer unaserie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidos en cualquier estructura que sea espacio vectorial.
Para detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer una serie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados...