espacios vectoriales

Curso de verano
Algebra lineal



Trabajo de investigación
“Espacios Vectoriales”


Contenido

4.1 Definición de un espacio vectorial

4.2 Subespacio vectorial y propiedades

4.3 Combinación lineal, independencia lineal

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial

4.5 Espacio vectorial con producto interno y propiedades

4.6 Base Ortonormal












4.1Definición de un espacio vectorial.

Sea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adición y multiplicación por escalares, ha sido definidas. Si U y V se encuentran en V, la suma de U y V se denota por medio de U + V, y se C es una escalar, en múltiplos escalar de U por C se denota CU. Si los siguientes axiomas son validos para todo U, V y W en V y para todos los escalares C y D,entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son vectores.
1. u+v esta en V
2. u+v = v+u
3. (u+v)+w = u+(v+w)
4. existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, tal que u+0 = u
5. para cada u en V, existe un elemento –u en V tal que u + (-u) = 0
6. cu esta en V
7. c(u+v) = cu + cv
8. (c+d)u = cu + du
9. c(du) = (cd) u
10. 1u = u

4.2 Subespacio vectorial ypropiedades.

En subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas
Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces S es un subespacio vectorial de V, si y solo si, S ∊ V.-De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. Dado un espacio vectorial es posible formarotro si se toma un subconjunto (S) de V y se utilizan las operaciones vectoriales.
Como V es un espacio vectorial las operaciones de adición y multiplicación escalar producen otro vector en V


Sea S = x₂=2x S es un subconjunto de R². Si

Es cualquier elemento de S y α es un escalar cualquiera, entonces

α =

que esun elemento de S. Si y son dos elementos cualesquiera de S su suma

=

Es también un elemento de S. El sistema matemático que consta del conjunto S es también un espacio vectorial
Si S es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y S cumple las condiciones siguientes:
I) Si x ∊ S entonces αx ∊ S para cualquier escalar
II) x+y ∊ S siempre que x ∊ S y y ∊ Sentonces se dice que S es un subespacio de V
Ejemplo
Sea S= {(x₁,x₂,x₃)ⁿ|x₁=x₂} Se deduce que S es un subespacio de R³ ya que
I) Si x=(a,a,b)ⁿ entonces
αx=(αa,αa,αb)ⁿ ∊ S
II) Si (a,a,b)ⁿ y (c,c,d)ⁿ son elementos arbitrarios de S, entonces
(a,a,b)ⁿ+(c,c,d)ⁿ = (a+c,a+c,b+d)ⁿ
4.3 Transformaciónlineal.

Una transformación lineal es un espacio vectorial V a un espacio vectorial W es una función (mapeo) T: V  W tal que, para todo u y v en V y para todo escalar c. Por tanto se debiese cumplir con algunas propiedades para su función, uso y adecuado resultado:

1. T(u +v) = T(u) + T(v)
2. T(cu) = cT(u)
3. T(0) = 0
4. T(-v) = - T(v) para toda v en V
5. T(u – v) = T(u) – T(v)para toda u y v en V

En T es necesario conservar todas las combinaciones lineales estos como un requisito para su cumplimiento.
Es decir, T: V W es transformación lineal si y solo si:

T(c1v1 + c2+v2 + …, ckvk) = c1T(v1) + C2T(v2) + … + ckT(vk)

Para todo v1,…, vk en V y escalares c1,…,ck.
Es importante destacar que toda transformación matricial es una transformación lineal. Esdecir, si A es una matriz de m X n entonces la transformación
TA : Rn  Rm definida por

TA (x) = Ax para x en Rn

Que es una transformación lineal


4.3 Independencia lineal.

Sean v1, v2,…, vn, n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2,…, cn no todos creo tales que

C1 v1 + c2 v2 + … + cn vn...