espacios vectoriales

Instituto Tecnológico de Tijuana
Algebra Lineal
Dra. Marisela Castillo López.
Unidad IV:
“Espacios Vectoriales”

Enero-Junio 2014.

“ESPACIOS VECTORIALES”

Introducción.
Sea un conjunto (V) en el cual dos operaciones han sido definidas. Y si
u y v se encuentran en V, la suma u+v también se encuentra en V.

Y si los siguientes axiomas son válidos para toda u, v y w en V y paratodos los escalares c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus
elementos se denominan vectores. :

“ESPACIOS VECTORIALES”
Axiomas.
Si u,v están en V entonces:
1. u+v está en V.
2. u+v= v+u

Propiedad conmutativa.

3. (u+v)+w= u+(v+w)

Propiedad asociativa.

4. Existe un elemento denominado vector cero.

u0 u

“ESPACIOS VECTORIALES”
Axiomas.
5. Para cada u en (V)existe un elemento (-u) en V tal que:

u  (u)  0
6. Si u esta en V y c es un escalar entonces:

cu
7. c(u+v)=cu+cv;

esta en V.

Propiedad de la Cerradura para la
multiplicación.

Propiedad Distributiva para
1 escalar.

“ESPACIOS VECTORIALES”
Axiomas.
8. (c+d)u=cu +du;
9. c(du)= (cd)u;
10. 1u=u;

Propiedad Distributiva
(1 vector).
Propiedad asociativa.
Vector Identidad.“ESPACIOS VECTORIALES”
Ejemplo:
Demostrar que el conjunto V, de todas las matrices 2X2 con elementos
reales es un espacio vectorial.
Axiomas:
1. Cerradura.

 u11 u12 
 v11 v12 
u
 , v  v
,
u21 u22 
 21 v22 
 u11 u12   v11 v12   u11  v11 u12  v12 
uv  
  v
  u  v
u21 u22   21 v22   21 21 u22  v22 



“ESPACIOS VECTORIALES”
Ejemplo:Demostrar que el conjunto V, de todas las matrices 2X2 con
elementos reales es un espacio vectorial.
Axiomas:
2. Conmutativa.

 u11 u12 
 v11 v12 
u
 , v  v
,
u21 u22 
 21 v22 
 u11 u12   v11 v12   u11  v11 u12  v12 
uv  
  v
  u  v
,
u21 u22   21 v22   21 21 u22  v22 
 u11  v11 u12  v12   v11 v12   u11 u12 

  v
  uu21  v21 u22  v22   21 v22   21 u22 


u  v  v  u

“ESPACIOS VECTORIALES”
Ejercicio 1:
Demostrar las propiedades de la 3 a la 10 para las matrices 2x2 del
ejemplo anterior , con elementos reales en un espacio vectorial.

 u11 u12 
u
,
u21 u22 

 v11 v12 
v
,
v21 v22 

“ESPACIOS VECTORIALES”
Un espacio vectorial puede ser un conjunto de:
a) Matrices:si se cumplen los axiomas anteriores(10). (Mmn)
Un ejemplo son todas las matrices de M2x2:

 u11 u12 
u
,
u21 u22 

 v11 v12 
v
v21 v22 



b) Polinomios:

q( x)  b0  b1 x  ...  bn x n ,
p( x)  a0  a1 x  ...  an x n ,
( p  q)( x)  p( x)  q( x)  (a0  b0 )  (a1  b1 ) x  ...  (an  bn ) x n

“ESPACIOS VECTORIALES”
Un espacio vectorial puede ser unconjunto de:
c) Funciones:

f ( x)  f ;

g ( x)  g ;

( f  g )( x)  f ( x)  g ( x);

k

escalar

“ESPACIOS VECTORIALES”
Un espacio vectorial puede ser un conjunto de:
d) Vectores: si se cumplen los axiomas anteriores(10). (Mmn)
Sea u y v:

 u1 
u  u2  ,
 
u3 
 

 v1 
v  v2  ;
 
 v3 
 

 u1  v1 
u  v u2  v2  ;


u3  v2 


 kv1 
kv  kv2  ;
 
 kv2 
 

“ESPACIOS VECTORIALES”
Subespacio Vectorial:
Un subconjunto (W) del espacio vectorial se denomina subespacio de
V, si W cumple con los axiomas de la adición y multiplicación por un
escalar.

Combinación lineal:
Sea ci un escalar y u={u1,u2,u3,…,un}, entonces:

c1u1  c2u2  c3u3  ..  cnun
i  1, 2,3,..., n;

“ESPACIOS VECTORIALES”Esquema Combinación lineal 1:

v  c1u1  c2u2  c3u3  ..  cnun
i  1, 2,3,..., n;

“ESPACIOS VECTORIALES”
Conjuntos Generadores:
Si S={v1,v2,…,vk], es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V,
entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales v1, v2,…,vk; se
conoce como espacio generado por (v1, v2,…,vk) o generado (S).
Si V=generado(S), entonces (S), se denomina...