Espacios vectoriales




U4: Espacios vectoriales

Álgebra lineal

15/11/2013

Dalia Guadalupe Coria Trujillo



4.1 Definición de espacio vectorial.
Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacío, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llamanvectores) si satisfacen los siguientes axiomas.
1. Para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).
2. Existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.
3. Para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.
4. Para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.
5. Para todo escalar kϵK y todo par de vectoresu, vϵV, k(u+v)=ku+kv.
6. Para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b) u=au+bu.
7. Para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).
8. El escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.
Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo queV es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.
U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define segúnu-v=u+(-v).
Los cuatro axiomas restantes se refieren a la “acción” del cuerpo K sobre V. Observe que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.
Teorema: sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Para todo escalar kϵK y 0ϵV, k0-0.
Para 0ϵK y todo vector uϵV, 0u=0.
Si ku=0,donde kϵK y uϵV, entonces k=0 o u=0.
Para todo kϵK y todo uϵV, (-k)u=-ku.


4.2 Definición de sub-espacio vectorial y sus propiedades.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un sub-espacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificarsub-espacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un sub-espacio de V si y solo si se cumple:
0єW
W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.
W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.
Corolario: W es un sub-espaciode V si y solo si:
0єW.
au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.
Ejemplo: sean U y W sub-espacios de un espacio vectorial V. probemos que la intersección UÇW es también sub-espacio de V. claramente, 0ÎU y 0ÎW, porque U y W son sub-espacios, de donde 0ÎUÇW. supongamos ahora que u, vÎUÇW. Entonces u, vÎU y u, vÎE y, dado que U y W son sub-espacios, u+v, kuÎU y u+v, kuÎW para cualquier escalar k.así u+v, kuÎUÇW y por consiguiente UÇW es un sub-espacio de V. El resultado del ejemplo precedente se generaliza como sigue.
Teorema: la intersección de cualquier número de sub-espacios de un espacio vectorial V es un sub-espacio de V.
Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de talsistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A (au+bv)= aAu+ bAv= a0+ b0= 0+0= 0....