Espacios Vectoriales

TEMA - ESPACIOS VECTORIALES REALES II. I. GRUPO Y CUERPO Antes de definir Espacio Vectorial necesitamos conocer otras estructuras algebraicas previas: • Un Grupo es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos y una operación interna y cerrada (+ ) que opera con los elementos del conjunto G y que cumple las siguientes propiedades: 1. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) = a +b + c, ∀a, b, c ∈ G. 2. Existencia en G de elemento neutro: 0 + a = a + 0 = a, ∀a ∈ G. 3. Existencia del opuesto de cualquier elemento de G:
∀a ∈ G , ∃ (−a) ∈ G / a + (−a) = 0.

ESPACIO VECTORIAL

Es una estructura algebraica formada por:

Un grupo conmutativo ( ,+) cuyos elementos se denominan vectores.

Un cuerpo conmutativo ( , +, ⋅) cuyos elementos se denominan escalares.

Unproducto externo que opera un escalar (k∈ ) con ∈ ∈ ∈ un vector ( v ∈ ) dando como resultado un vector ∈ ∈ (k⋅ v ∈ ). ⋅

Cumple las siguientes propiedades:

1. Distributiva respecto de la suma de vectores:

k ⋅ (u + v ) = ku + kv , ∀k ∈ K , ∀u , v ∈ V

Si además la operación es conmutativa:

a + b = b + a, ∀a, b ∈ G el Grupo se denomina Conmutativo o Abeliano.
• Un Cuerpo es una estructuraalgebraica formada por un conjunto K de elementos y dos operaciones internas y cerradas, suma (+ ) y producto interno (⋅) que verifican: (K,+) tiene estructura de grupo, y el producto interno verifica las siguientes propiedades: 1. Asociativa: a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), ∀a, b, c ∈ K . 2. Distributiva respecto de la suma: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, ∀a, b, c ∈ K . 3. Existencia en K deelem. neutro: 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a, ∀a ∈ K . 4. Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma:

2. Distributiva respecto de la suma de escalares:

( k1 + k2 ) ⋅ v = k1v + k2 v , ∀k1 , k2 ∈ K , ∀v ∈ V .

3. Pseudoasociativa:

( k1 ⋅ k2 ) ⋅ v = k1 ⋅ (k2 ⋅ v ), ∀k1 , k2 ∈ K , ∀ v ∈ V .

4. El elemento neutro coincide con el neutro del producto del cuerpo K: 1⋅ v = v , ∀v ∈ V .

Ejemplos de espacios vectoriales:

R 2 = {(a, b) / a, b ∈ R} es el conjunto de pares de nº reales.
reales.

R 3 = {( a, b, c) / a, b, c ∈ R}

es el conjunto de ternas de nº

R n = {(a1 , a2 ,…, an ) / a1 , a2 ,…, an ∈ R} es el conjunto de
∀a ∈ K (a ≠ 0) , ∃ a −1 ∈ K / a ⋅ a −1 = a −1 ⋅ a = 1.

n-adas de números reales.
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Matemáticas Empresariales 2009/10 -Espacios Vectoriales

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Propiedades de los espacios vectoriales El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo: k ⋅ 0 = 0, ∀k ∈ K . El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo: 0 ⋅ v = 0, ∀v ∈ V .

3. Dado un conjunto de vectores, cualquiera de ellos es combinación lineal del conjunto:(vi = 0 ⋅ v1 + 0 ⋅ v2 +

+ 1 ⋅ vi +

+ 0 ⋅ vn )

Dependencia e independencia lineal: Los vectores

k ⋅ (−v ) = (−k ) ⋅ v = −(k ⋅ v ), ∀k ∈ K , ∀v ∈ V .
Si Ejemplo

k ⋅ v = 0 entonces o bien k = 0
o bien

v = 0.

{v1 , v2 ,…, vn }

son

linealmente

independientes si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes si al menos uno de ellos escombinación lineal de los demás.

R tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo las dos operaciones siguientes:
con • Operación interna:
1 2 1 2 1 1 2

2

R
2

( a , a ) + (b , b ) = (a + b , a + b )

Criterio para caracterizar la dependencia e independencia lineal: Los vectores

• Operación externa: Combinación lineal de vectores Un vector dichos vectores por escalaresλ ⋅ (a1 , a2 ) = (λ ⋅ a1 , λ ⋅ a2 )

{v1 , v2 ,…, vn }

son

linealmente

dependientes si existe alguna combinación lineal de ellos igual al vector nulo con algún escalar distinto de cero:

v

es combinación lineal de los vectores

∃ k1 ⋅ v1 + k2 ⋅ v2 + … + kn ⋅ vn = 0

{v1 , v2 ,…, vn } si es el resultado de sumar los productos de
k1 , k2 ,…, kn :

con algún

ki ≠ 0, i =...