Espacios Vectoriales

AL

2015

Espacios Vectoriales
Espacio vectorial

En Matemática, los conjuntos tienen un particular interés debido a la naturaleza o a la aplicación que se les da. Estas dos
características están presentes en un tipo especial de conjunto utilizado para representar cantidades físicas con
magnitud, dirección y sentido, y es conocido como espacio vectorial. A los elementos pertenecientes al espaciovectorial
se les conoce como vectores.
De manera básica existen tres definiciones para un vector, todas encaminadas en un ámbito diferente. Así, el término
físico es una cantidad con magnitud, dirección y sentido; en Geometría, el vector es un elemento director de un lugar
geométrico en el plano o el espacio; finalmente, en Álgebra, el vector es un elemento sobre el cual pueden aplicarse lasoperaciones de suma y multiplicación por un escalar. Este último punto de vista será el abordado de ahora en adelante:
el vector como elemento de un conjunto donde se definen dos operaciones.
Sean 𝐾 un campo, y 𝑉 un conjunto no vacío en los cuales se definen las operaciones



𝑓(𝑉, 𝑉) = 𝑢� + 𝑣̅ , ∀ 𝑢�, 𝑣̅ ∈ 𝑉 (suma de vectores)
𝑓(𝐾, 𝑉) = 𝛼𝑢�, ∀ 𝑢� ∈ 𝑉, 𝛼 ∈ 𝐾 (multiplicación de un vector por unescalar)

El conjunto 𝑉 es un espacio vectorial sobre el campo 𝐾, si para todo vector 𝑢�, 𝑣̅ , 𝑤
� ∈ 𝑉 y para todo escalar 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾
se cumple que
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

𝑢� + 𝑣̅ ∈ 𝑉
𝑢� + (𝑣̅ + 𝑤
�) = (𝑢� + 𝑣̅ ) + 𝑤
�
𝑢� + 𝑣̅ = 𝑣̅ + 𝑢�
� es el elemento neutro aditivo (vector nulo)
𝑢� + 0� = 𝑢�, donde 0
𝑢� + (−𝑢�) = 0� , donde −𝑢� es el inverso aditivo de 𝑢�
𝛼𝑢� ∈ 𝑉
(𝛼𝛽)𝑢� = 𝛼(𝛽𝑢�)
(𝛼 + 𝛽)𝑢� = 𝛼𝑢�+ 𝛽𝑢�
𝛼(𝑢� + 𝑣̅ ) = 𝛼𝑢� + 𝛼𝑣̅
(1)𝑢� = 𝑢�, donde 1 es la unidad del campo 𝐾

Los diez axiomas anteriores establecen la estructura algebraica de espacio vectorial, y pueden aplicarse a cualquier
conjunto sobre cualquier campo, siempre y cuando se cumplan.
EJEMPLO 2.1. Algunos conjuntos trascendentes son espacios vectoriales sobre el campo real, complejo o incluso sobre
ambos:





Las matricesde orden 𝑚 × 𝑛.
Los números complejos, y sus variantes ℂ𝑛 .
Los números reales, y sus variantes ℝ𝑛 (sólo campo real).
Los polinomios de grado menor o igual a 𝑛.
1

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

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Dentro de los conjuntos de elementos matemáticos más comunes pueden definirse operaciones de suma y
multiplicación por un escalar diferentes a las tradicionales. Dichas operaciones modificadastambién son válidas para
verificar la estructura de espacio vectorial.
EJEMPLO 2.2. Sean el campo de los números reales y el conjunto 𝑇 = {𝑥|𝑥 > 0, 𝑥 ∈ ℝ} con las operaciones de suma y
multiplicación por un escalar definidas como
𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦,

𝛼𝑥 = 𝑥 𝛼 ,

Determina si dicho conjunto es un espacio vectorial.

∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑇

∀ 𝑥 ∈ 𝑇, 𝛼 ∈ ℝ

Es sencillo comprobar cada uno de los axiomas, desarrollando cada unoy concluyendo si se llega o no a una igualdad.
Axioma 1. La multiplicación en los números reales positivos es cerrada, pues 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+ y por la primera regla de los
signos 𝑥𝑦 ∈ ℝ+.
Axioma 2.

Axioma 3.

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧)
𝑥𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑧
𝑥𝑦𝑧 = 𝑥𝑦𝑧

Axioma 4.

𝑥+𝑦 =𝑦+𝑥
𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
𝑥+𝑒 =𝑥
𝑥𝑒 = 𝑥 ⇒ ∃ 𝑒 = 1

�,
Es importante resaltar que el elemento neutro o vector nulo no siempre es cero; demanera general se denota como 0
pero no quiere decir que será, como tal, un elemento con ceros.
Axioma 5.
𝑥 + (−𝑥) = 1
𝑥−𝑥 =1

𝑥(𝑥 −1 ) = 1 ⇒ ∃ 𝑥 −1 =

El conjunto 𝑇 no contiene al cero; todos los elementos tienen inverso.

1
𝑥

Axioma 6. Un número real positivo elevado a cualquier potencia siempre es positivo. Por lo que 𝑥 𝛼 ∈ 𝑇.

Axioma 7.

2

Ing. Aldo Jiménez Arteaga

(𝛼𝛽)𝑥 = 𝛼(𝛽𝑥)

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𝑥 𝛼𝛽= 𝛼�𝑥 𝛽 �
𝛼

= �𝑥 𝛽 �

= 𝑥 𝛼𝛽

Axioma 8.

Axioma 9.

(𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥
𝑥 𝛼+𝛽 = 𝑥 𝛼 + 𝑥 𝛽
= 𝑥𝛼𝑥𝛽
= 𝑥 𝛼+𝛽

Axioma 10.

𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦
(𝑥 + 𝑦)𝛼 = 𝑥 𝛼 + 𝑦 𝛼
(𝑥𝑦)𝛼 = 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼
= (𝑥𝑦)𝛼
(1)𝑥 = 𝑥
𝑥1 = 𝑥

Todos los axiomas se comprueban para el conjunto 𝑇 con las operaciones definidas; entonces, 𝑇 es un espacio
vectorial sobre el campo de los números reales.
Un subconjunto específico de un conjunto...