ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial real V (“real” se refiere a que los escalares son números reales en vez de complejos) es un conjunto de objetos, llamados vectores, con dos operaciones definidas: la suma vectorial y la multiplicación escalar, que satisface las siguientes condiciones:
 
1. Si x, y є V, entonces x + y є V (Clausura bajo la adición o suma).
2. Para todo x, y,z є V tenemos que (x + y) + z = x + (y + z) (Asociativa bajo la suma).
3. Existe un vector cero, 0 є V tal que para todo x є V tenemos que x + 0 = 0 + x = x (Existencia del vector cero).
4. Si x є V existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (Existencia del inverso aditivo).
5. Si x, y є V entonces x + y = y + x (Conmutativa de la suma).
6. Si x є V y a es un escalar, entonces  a ∙ x є V (Clausura para elproducto por un escalar).
7. Si x, y є V y a es un escalar, entonces a ∙ (x + y) = a∙ x + a ∙y (Primera propiedad distributiva: suma de vectores).
8. Si x є V y a, b son escalares, entonces (a + b) ∙ x = a ∙x +  b∙x (Segunda propiedad distributiva: suma de escalares).
9. Si x є V y a, b son escalares, entonces a ∙ (b ∙ x) = (ab) ∙ x (Asociativa de la multiplicación escalar).
10. Para todovector x є V, tenemos que 1∙x = x (El escalar 1 se llama el elemento identidad de la multiplicación).

EJEMPLOS.
1) El espacio formado por los vectores de n componentes (x1, . . .,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones.
El vector cero es (0,.. .,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos
(Si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜn)

2) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.
No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto,consideremos los polinomios
p = x3+x2+x+1 , q = –x3+x2+x+1
Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p+q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

SUBESPACIOS VECTORIALES

Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespacio vectorial si contiene al vector K, y si al efectuar las operaciones de suma y producto por escalar entre vectores de S, elresultado permanece en S.
(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)
Es decir:
• 0 ∈ S . K
• Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S.
• Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.
Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. Puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S “hereda” laspropiedades de las operaciones en V).
Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamos complejos, también para S.

AXIOMAS
1.-  Ley de cerradura   Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V

5+4 pertenece a V

2.- Ley conmutativa  u + v = v + u 
4+2 = 2+4

3: Ley Asociativa  u + (v + w) = (u + v) + w      
(2+3) + 4= 2 + (3+4)4: Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.  

5+0=0+5 =5

5: Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0

5+(-5)=0

6: Ley de cerradura  Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número    real, entonces c u pertenece a V         
                     
4 y 5 pertenece a V


7: LeyDistributiva  c (u + v) = cu + cv ,  para todo real c y todo elemento u y v en V.

5(4+3)=5*4+5*3


8: Ley Distributiva  (c+d) u = cu + du para todo número real c y d,  y todo elemento u en V.

(5+4)3=5*3+4*3

9: Ley asociativa de la multiplicación  c.(du) = (cd) u para todo número real c y d

5(3*4)=(5*3)4

10: Elemento neutro de la multiplicación   1u =u, para u en V.

1*5=5


EJEMPLOS...