Esperanza Y Varianza

4.2. El concepto de esperanza y
varianza de una variable aleatoria

Concepto de esperanza
La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta se
define como:

E ( X ) = ∑ xi ⋅ f ( xi )xi

La esperanza matemática puede interpretarse intuitivamente
como el valor medio de infinitas observaciones. De hecho,
se cumple:
N

lim

N →∞

∑x
i =1

N

i

= E( X )

Laesperanza matemática tambien puede
interpretarse como un punto de equilibrio
de la distribución de probabilidad

E ( X ) = ∑ xi ⋅ f ( xi )
xi

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

45

0

1

2

3

4

5

0.4
0.35
0.3

f ( x) = 1 / 6 x = 0,1,2,3,4,5

0.25
0.2

E ( X ) = 0 × 1 / 6 + 1× 1 / 6 +  + 5 × 1 / 6 = 2.5

0.15
0.1
0.05
0

1

2

3

45

0.4

f ( x) = 1 / 16 x = 0,5

0.35

f ( x) = 3 / 16 x = 1,4

0.3
0.25

f ( x) = 4 / 16 x = 2,3

0.2

E ( X ) = 0 × 1 / 16 + 1× 3 / 16 + 2 × 4 / 16 +

0.15
0.1

+ 3 × 4 / 16 +4 × 3 / 16 + 5 × 1 / 16 = 2.5

0.05
0

1

2

3

4

5

Propiedades de E(X)
• E (k ) = k
• E (k ⋅ X ) = k ⋅ E ( X )
• E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
• E (k + X ) = k + E ( X )
• SiX y Y son independientes ⇒
E ( X ⋅ Y ) = E ( X ) ⋅ E (Y )

Concepto de varianza
La varianza de una variable aleatoria discreta se define como:

V ( X ) = E ( X − E ( X ))

2

Estadefinición equivale a:

V ( X ) = E( X

2

(E ( X ) )2
)−

• E ( X ) = ∑ xi f ( xi )
xi

• E ( X 2 ) = ∑ xi2 f ( xi )
xi

La varianza puede interpretarse como un
momento de la distribución deprobabilidad respecto de la esperanza

Menor Varianza

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

La varianza
aumenta al
aumentar la
dispersión de
laprobabilidad
respecto de la
esperanza

5
Mayor Varianza

0.4
0.35

f ( x) = 1 / 6 x = 0,1,2,3,4,5

0.3

E ( X ) = 0 × 1 / 6 + 1× 1 / 6 +  + 5 ×1 / 6 = 2.5

0.25
0.2

E ( X 2...