Esponent Logaritme 1

FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
___________________________________________________________________________

FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES.
1.
2.
3.
4.
5.

Funcions exponencials.
Equacions exponencials.
Definició de logaritme. Propietats.
Funcions logarítmiques.
Equacions logarítmiques.

________________________________
1. Funcions exponencials.

Les funcions deltipus f(x) = ax, on a > 0, s’anomenen funcions exponencials de base a.

Les funcions exponencials tenen les següents propietats característiques:
1) El seu domini sempre és R.
2) Són funcions continues.
3) El seu gràfic talla sempre a l’eix d’ordenades en el punt (0,1), ja que f(0) = a0 = 1.
4) El seu gràfic no talla mai a l’eix d’abscisses, ja que f(x) = ax > 0 per qualsevol valor de x.
5) Si a >1, f(x) = ax és creixent, i per a valors de x molt grans i negatius el gràfic s’apropa
indefinidament a l’eix d’abscisses sense arribar mai a tocar-lo.
6) Si 0 < x < 1, f(x) = ax és decreixent, i per a valors de x molt grans i positius el gràfic
s’apropa indefinidament a l’eix d’abscisses sense arribar mai a tocar-lo.

Exemple:
1) Els gràfics adjunts corresponen a les funcions exponencials f(x) =2x i g(x) = 0,5x. En
ells es poden observar les propietats mencionades anteriorment:

El camp d’aplicació de les funcions exponencials és molt ampli. En els exercicis següents
veurem alguna de les seves aplicacions.

2. Equacions exponencials.

Les equacions que tenen la incògnita en l’exponent d’una potència reben el nom d’equacions
exponencials. La seva resolució passa per aconseguir arribar auna igualtat de potències d’igual
base i aplicar la propietat: ax = ay ⇒ x = y.

__________________________________________________________________________________________
IES L’ALZINA
Celestí Bertran i Infante

1

FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
___________________________________________________________________________

Exemples:
2) 52x-6 = 625.
Com 625 = 54, tenim que:52x-6 = 54, d’on 2x-6 = 4, i d’aquí que x = 5.
3) 3x+1 + 3x – 3x-1 = 351.
3·3x + 3x – 1/3·3x = 351, traient 3x factor comú, tenim: 3x·(3 + 1 + 1/3) = 351,
d’on 3x·13/3 = 351, i d’aquí que 3x = 81, i com 81 = 34, tenim que 3x = 34 i per tant x = 4.
4) 22x - 6·2x + 8 = 0.
Aquesta equació es pot reduir a una equació de segon grau fent 2x = t. D’aquesta
manera tenim: t2 - 6t + 8 = 0.
Resolent-laobtenim que t1 = 2 i t2 = 4.
Fent t1 = 2 = 2x, obtenim que x = 1, i fent t2 = 4 = 22 = 2x, obtenim que x = 2.
Per tant, tenim dues solucions: x = 1 i x = 2.

4. Definició de logarítme. Propietats.

Sigui a > 0, definim logaritme en base a d’un nombre real N com l’exponent x al qual s’ha
d’elevar la base a per tal d’obtenir N, és a dir,
loga N = x ⇔ ax = N
Observacions:
1) El símbol loga N es llegeix“logaritme en base a de N”.
2) Si la base és 10 (a = 10), diem que és un logaritme decimal, i si la base és e (a = e), diem
que és un logaritme neperià. A partir d’ara, els logaritmes decimals els indicarem per
log x (sense especificar la base) i els logaritmes neperians per ln x.

Exemples: Fent ús de la definició de logaritme, determineu el valor de:
5) log2 64 = x
Per definició 2x = 64 i com 64= 26, tenim que x = 6.
6) log3 27 = x
Tenim que 3x = 27 , i 27 = 33/2, d’aquí que x = 3/2.
7) log10 0,00001 = x
Tenim que 10x = 0,00001, i que 0,00001 = 10-5, d’aquí que x = -5.
8) log5 (1/125) = x
Tenim que 5x = 1/125. Com 1/125 = 5-3, tenim que x = -3.
Com a conseqüència immediata d’aquesta definició tenim les següents propietats:
1) loga ax = x; com a cas particular: loga a = 1 i loga 1 = 0.2) aloga x = x.

Altres propietats importants dels logaritmes són:
1) loga N·M = loga N + loga M.
2) loga N/M = loga N - loga M.
3) loga Nn = n·loga N.
4) loga n N = 1/n · loga N.
logb N
5) Canvi de base: loga N =
.
logb a
__________________________________________________________________________________________
IES L’ALZINA
Celestí Bertran i Infante

2

FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES....