Estadística de fermi-dirac

Tema 10: Estadística de Fermi-Dirac
Gas ideal de fermiones degenerado; energía de Fermi, potencial de Gibbs. Gas relativista muy degenerado. Enanas blancas: modelo de Chandrasekhar. Magnetismo y gas de Fermi (paramagnetismo de Pauli, diamagnetismo de Landau, efecto Hass-van Alphen). Propiedades del gas electrónico en metales; coeficientes de transporte.

Gas ideal de fermiones con fuertedegeneración; energía de Fermi, potencial de Gibbs. Un caso interesante del gas ideal cuántico ocurre para bajas T ’s y/o altas densidades n, o (como vimos en las lecciones anteriores), para h2 2πmkT
3/2

δ = ng

−1

≫ 1.

Se dice que el gas está fuertemente degenerado, los efectos cuánticos se manifiestan con intensidad, y es necesario estudiar por separado los casos de fermiones y bosones;aquí nos interesa el gas de fermiones fuertemente degenerado. Si, con la densidad n = const, disminuimos T hacia 0o K, la distribución de fermiones tiende a minimizar la energía total, pero no pueden acumularse en los mismos estados por el principio de exclusión de Pauli, luego la distribución más favorable en 0o K consistirá en la ocupación sucesiva de cada ‘nivel’ por g fermiones, empezando porel de mínima energía.
115

Energía de Fermi, ǫF : la del nivel más alto que se alcanza de este modo suponiendo que el gas es ideal. Todo los niveles por debajo de éste constituye el mar de Fermi. En esta situación, el número medio de ocupación de los niveles es npσ = 1 eβ(ǫp −µ) +1 = Θ (ǫF − ǫp ) para β → ∞ (T → 0o K) , (29)

npσ 1 con Θ la función paso de Heaviside: ǫF Puesto que, para β →∞ : 1 eβ(ǫp −µ) +1 de modo que ǫp − µ es < 0 si ǫp < ǫF > 0 si ǫp > ǫF , = 1 si ǫp < ǫF 0 si ǫp > ǫF y β→∞ y β → ∞, ǫp T = 0o K (gas ideal)

se sigue necesariamente que la función µ (T ) — es decir, la densidad de energía libre de Gibbs o potencial químico — tiene la propiedad: µ (T = 0o K) = ǫF De la ecuación de estado para un gas ideal cuántico de fermiones:70
70

Se sigue haciendo x = βǫen el resultado obtenido en una lección anterior: 2 n (T, µ) = gΛ−3 √ π
∞

dx
0

x1/2 exp (x − µ/kT ) − θ

116

n= α

∞ ǫ1/2 dǫ eβ(ǫ−µ) +1 0

=α

∞ 0 dǫ

ǫ1/2 Θ (ǫF − ǫp )
3/2

(30)

=

ǫF 0

2 dǫ ǫ1/2 = 3 ǫF ,

donde hemos usado el resultado (29) válido para T → 0o K (es decir, suponemos n dada: N y V fijos). Se sigue que
5/2 3/2

n=2

πm

2 3/2 1 g (2m)3/23/2 g ǫF = 2 ǫF 3 6π (2π )3 3

luego la energía de Fermi es 6π 2 g
2/3 2

ǫF =

2m

n2/3

(31)

y se tiene el momento de Fermi ǫF = 2m 6π 2 g
1/3

pF ≡

n1/3

para el caso no relativista.71 Si T es pequeña, pero finita, algunos fermiones pueden absorber excitaciones térmicas para ‘abandonar el mar de Fermi’, es decir, tener energías por encima de ǫF .
Es decir un gas defermiones en el 0 absoluto es bastante energético; por el PP, el momento de cada fermión será grande, en general, lo que hace que el “gas de fermiones complétamente degenerado” sea un buen modelo, al menos cualitativo, para algunas situaciones físicas, como vemos a continuación, es decir es un modelo con mucha física.
71

117

El número de ocupación npσ es entonces:72

Notar que 1 − npσ a Tfinita es como el reflejo de esta figura en ǫF , y que npσ (1 − npσ ) = exp [β (ǫ − µ)] {exp [β (ǫ − µ)] + 1}2

será una especie de gausiana alrededor de ǫF con anchura de orden kT. Es decir, la función paso característica del 0o K redondea las esquinas, y este producto sólo es distinto de cero en un estrecho dominio para T próxima a 0oK.
1 1

1-
1

(1-)

kT 0 0

εF

εp 0 0

εF

εp 0 0εF

εp

Para obtener las expresiones relevantes a T baja y finita hemos de buscar un desarrollo apropiado para la integral
La parte curvada en esta figura no es simétrica respecto de ǫF , como puede verse en las expresiones que obtenemos luego.
72

118

I=
0

∞

dǫ f (ǫ)

1 exp [β (ǫ − µ)] + 1

donde f (ǫ) es arbitraria con f (0) = 0. A T ’s suficientemente bajas (gases...