Estadística

Capítulo II

CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

2.1. Introducción La fase previa de cualquier estudio estadístico se basa en la recogida y ordenación de datos; esto se realiza con la ayuda de los resúmenes numéricos y gráficos visto en los temas anteriores. 2.2. Medidas de posición Son aquellas medidas que nos ayudan a saber donde están los datos pero sin indicar como sedistribuyen. 2.2.1. Medidas de posición central a) Media aritmética ( X ) La media aritmética o simplemente media, que denotaremos por X , es el número obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el numero total de observaciones, y se define por la siguiente expresión:

x =

n ∑ x i ni i =1 N

Ejemplo: Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la mediaaritmética, de los siguientes datos expresados en kg. xi ni xi ni 54 2 108 59 3 177 63 4 252 64 1 64 N=10 601

X=

∑x n
i =1

n

i i

N

=

601 = 60,1 kg 10

Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media aritmética, es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi). Ejemplo:

Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz

(Li-1,Li] [30 , 40] (40 , 50] (50 ,60]

xi 35 45 55

ni 3 2 5 10

ni

xi 105 90 275 470

X=

∑x n
i =1

n

i i

N

=

470 = 47 10

Propiedades: 1ª) Si sometemos a una variable estadística X, a un cambio de origen y escala Y = a + b X, la media aritmética de dicha variable X, varía en la misma proporción.

Y = a + bX

Y = a + bX

2ª) La suma de las desviaciones de los valores o datos de una variableX, respecto a su media aritmética es cero.

∑ (x
i =1

n

i

− x ) ni = 0

Ventajas e inconvenientes: - La media aritmética viene expresada en las mismas unidades que la variable. - En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución. - Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados. - Es única. - Su principal inconveniente esque se ve afectada por los valores extremadamente grandes o pequeños de la distribución. • Media aritmética ponderada Es una media aritmética que se emplea en distribuciones de tipo unitario, en las que se introducen unos coeficientes de ponderación, denominados ω i , que son valores positivos, que representan el número de veces que un valor de la variable es más importante que otro.

Manual deEstadística de David Ruiz Muñoz

W=

∑x w ∑
i =1 i =1 n i

n

i

wi

b) Media geométrica Sea una distribución de frecuencias valores de la distribución. G=
N n nk x1n1 x 2 2 ·····x k

(x i , n i ). La media geométrica, que

denotaremos por G. se define como la raíz N-ésima del producto de los N

Si los datos están agrupados en intervalos, la expresión de la media geométrica,es la misma, pero utilizando la marca de clase (Xi). El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes, tasas, números índices. etc., es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones acumulativas. Ventajas e inconvenientes: - En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución. - Los valores extremostienen menor influencia que en la media aritmética. - Es única. - Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética. Además, cuando la variable toma al menos un x i = 0 entonces G se anula, y si la variable toma valores negativos se pueden presentar una gama de casos particulares en los que tampoco queda determinada debido al problema de las raíces de índice par de números negativos. c) Mediaarmónica La media armónica, que representaremos por H, se define como sigue:

H =

N r 1 ∑ ni i =1 x i

Manual de Estadística de David Ruiz Muñoz

Obsérvese que la inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable. No es aconsejable en distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para promediar variables tales como...