estadistica 1


EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

De los cuatro ejercicios realizados se sacaron las siguientes conclusiones

1. Suponga que un conductor de automóvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados. Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogotá y Tunja.Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.
a. ¿Qué probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?
b. ¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?
*Solución

Acá utilizamos ladistribución binomial:
La variable X representa si el automovilista con exceso de velocidad es detectado o no en una de las ocho estaciones.
P(X=x) = C(n,x) * p^x * (1-p)^(n-x) 

En este caso:

P(X=x) = C(8,x) * 0,6^x * 0,4^(8-x) 
->La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientesentre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados.
Acá los dos resultados posibles son: Es detectado o no es detectado el automovilista.

a) 

P(X>=5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) 

P(X=5) = C(8,5) * 0,6^5 * 0,4^(8-5) = 0.2787 
P(X=6) = C(8,6) * 0,6^6* 0,4^(8-6) = 0.2090 
P(X=7) = C(8,7) * 0,6^7 * 0,4^(8-7) = 0.0896 
P(X=8) = C(8,8) * 0,6^8 * 0,4^(8-8) = 0.0168 

P(X>=5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168 

P(X>=5) = 0,5941->>59,4% 

b) 

0,6*8=4,8 ->> 4 veces.

c) 

P(X=0) = C(8,0) * 0,6^0 * 0,4^(8) =6,55*10^-4 ->> 0,06%


2. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes sonsimilares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes
a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?
b. Cuantas solicitudes se espera que sean autorizadas paragrupos minoritarios

Solución
Utilizamos la distribución hipergeométrica.
->La distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada conmuestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A enuna muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.
La población de N elementos corresponde a las 10 solicitudes de crédito, 4 a grupos minoritarios (d) y 10-4=6 no pertenecen. Hallaremos la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios con X como la probabilidad de que se tome una solicitud porparte de las personas minoritarias.

a) Como son 6 solicitudes aprobadas, la mitad es 3. 
Entonces menos de la mitad es menos de 3, es decir 0,1 o 2 solicitudes. 
i) Nº de maneras de tomar 6 solicitudes de 10 disponibles es C(10,6) 
ii) Nº de maneras de tomar 0 solicitudes minoritarias y por lo tanto 6 no minoritarias 
C(4,0)*C(6,6) 
iii) Nº de maneras de tomar 1 minoritaria y 5 nominoritarias 
C(4,1)*C(6,5) 
iv) Nº de maneras de tomar 2 minoritarias y 4 no minoritarias 
C(4,2)*C(6,4) 

Entonces la probabilidad es: 
[C(4,0)*C(6,6) + C(4,1)C(6,5) + C(4,2)*C(6,4)] / C(10,6) 
=[1 + 24 + 90] / 210 = 115/210 
= 0,5476. 

b) Nº esperando = E(X) = esperanza de x 
= Sumatoria desde 0 hasta 4 de X*Prob(X) 
= 0*1/210 + 1*24/210 + 2*90/210 + 3*80/210 + 4*15/210 
= [0 + 24 + 180 +...