ESTADISTICA_leccion_4_1 2015 2016 V1

03/10/2015

Grado en Sistemas de Información
Curso Académico 2015/2016
Dpto. Ciencias de la Computación

Estadística
Tema 4. 1ª Parte: Variable aleatoria y modelos
univariantes de distribución de probabilidad

Variable aleatoria (VA)
Dado un espacio muestral S sobre el que se encuentra definida
una función de probabilidad y X una función de valor real
definida sobre S, de manera que transformelos resultados de
S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que
X es una variable aleatoria (VA)







Ejemplo. El lanzamiento de una moneda tiene dos resultados
posibles sobre el espacio muestral, cara o cruz. X(cara)=0,
X(cruz)=1
P(X=0), P(X=1): Probabilidades de que salga cara o cruz
respectivamente.

Las variables aleatorias (VVAA) pueden ser discretas o
continuas



2

103/10/2015

Variable aleatoria (VA)


Variable aleatoria discreta

Se dice que una variable aleatoria (VA) es discreta si el conjunto de
todos los valores que puede tomar es un conjunto, a lo sumo,
numerable (discreto).
Ejemplos:
•

El número de accidentes laborales en una empresa al año.

•

El número de errores en un mensaje transmitido.

•

El número de piezas defectuosas producidas a lolargo de un día en
una cadena de producción.
El número de días de baja de un trabajador al mes.

•
3

Distribución de probabilidad de variables
discretas


Función de probabilidad: Función que asigna una probabilidad a
cada realización x de la variable aleatoria X
 p( x)  0
p( x)  P( X  x) 
 p ( xi )  1

•

Ejemplo: Número de caras al lanzar 3 monedas.
moneda 1
CARA
CARA
CARA
CARA
CRUZ
CRUZCRUZ
CRUZ
nº

moneda 2
CARA
CARA
CRUZ
CRUZ
CARA
CARA
CRUZ
CRUZ

nº caras
0
1
2
3

moneda 3
CARA
CRUZ
CARA
CRUZ
CARA
CRUZ
CARA
CRUZ

frecuencia
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125

8

P(x)
P(x=0)
P(x=1)
P(x=2)
P(x=3)

0,125
0,375
0,375
0,125

4

2

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Distribución de probabilidad de variables
discretas


La función de distribución (acumulativa) de la variable
aleatoria X es laprobabilidad de que X sea menor o igual que un
valor específico de x y está dado por

F ( x)  P( X  x)   p( xi )
xi  x

Ejemplo:

•

Número de caras al lanzar 3 monedas.
nº caras
0
1
2
3

F(x)
F(0)=p(X≤0)
F(1)=P(X≤1)
F(2)=P(X≤2)
F(3)=P(X≤3)

0,125
0,500
0,875
1,000

5

Distribuciones de probabilidad de variables
discretas


Ejemplo: Función de probabilidad correspondiente al lanzamiento de2
dados
Va ria ble a lera toria

2

1
Nº de ocurrencia s
P roba bilida d
2,8%

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

5,6%

8,3%

8,3%

5,6%

2,8%

11,1% 13,9% 16,7% 13,9% 11,1%

12
36

6

3

03/10/2015

Distribución de probabilidad de variables
discretas


Ejemplo: Función de distribución acumulativa del lanzamiento de 2 dados
Variable aleratoria

2

3

4

5

6

7

8

9

1011

Nº de ocurrencias

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1

Probabilidad

2,8%

5,6%

8,3%

11,1%

13,9%

16,7%

13,9%

11,1%

8,3%

5,6%

2,8%

Probabilidad acumulada

2,8%

8,3%

16,7%

27,8%

41,7%

58,3%

72,2%

83,3%

91,7%

97,2%

100,0%

12

7

Distribución de probabilidad de variables
continuas: función densidad de probabilidad



En el caso continuo la probabilidad se determina porintervalos
f(x): función densidad de probabilidad
Ejemplo: se mide la llegada de 100
clientes a una tienda



Intervalo

Nº de
llegadas

Frecuencia
relativa

Frecuencia relativa
acumulada

1.00

22

0,20

0,20

2.00

18

0,16

0,36

3.00

17

0,15

0,52

4.00

13

0,12

0,64

5.00

14

0,13

0,76

6.00

8

0,07

0,84

7.00

6

0,05

0,89

8.00

7

0,06

0,95

9.00
10.00

3
2

0,03
0,02

0,98
1,00

8

403/10/2015

Distribución de probabilidad de variables
continuas: función densidad de probabilidad



Si se va aumentando el nº de observaciones y disminuyendo la anchura
de cada clase se llega a una curva límite.
Esta curva limite es la que se obtendría a partir del histograma de una población
disminuyendo indefinidamente las anchuras de cada clase.
10 Clases: Anchura de clase =1
[0,1);...