ESTADISTICA

´
SIMULACION Y CONFIABILIDAD

1

´
Simulacion

Una simulaci´n es el acto de reproducir el comportamiento de un sistema real mediante un modelo
o
que describa de manera adecuada los procesos en dicho sistema.
Si asumimos que las variables que no podemos controlar (variables probabil´
ısticas) poseen distribuciones conocidas, podemos simular sus valores por medio del m´todo deMontecarlo.
e

1.1

M´todo de Montecarlo
e

Este m´todo es empleado para obtener una muestra aleatoria de tama˜o n de una variable aleatoria
e
n
X a partir de la elecci´n al azar de n n´meros en el intervalo [0, 1].
o
u
De manera m´s precisa, si FX : R → [0, 1] es la funci´n de distribuci´n de X, efectuamos el siguiente
a
o
o
procedimiento.
1. Seleccionar al azar n n´meros aleatorios u1, u2 , . . . , un . Estos n´meros son los valores simulados
u
u
de una muestra de n n´meros elegidos al azar entre 0 y 1, o equivalentemente, de una variable
u
aleatoria con distribuci´n U ([0, 1]).
o
2. Los n valores simulados de la variable aleatoria X ser´n
a
xi = min{FX (x) ≥ ui } ,
x∈R

para i = 1, 2, . . . , n .

El paso 1 se puede efectuar utilizando una tabla de n´merosaleatorios, o de manera m´s practica
u
a
utilizando alg´n software estad´
u
ıstico.
En el paso 2 podemos observar las siguientes situaciones.
• Si X es una variable aleatoria discreta.






xi = min
PX (y) ≥ ui ,

x∈RX 
 y∈RX


para i = 1, 2, . . . , n .

y≤x

• Si X ∼ U ([a, b]).
xi = a + (b − a)ui ,

para i = 1, 2, . . . , n .

• Si FX es estrictamentecreciente.
−1
xi = FX (ui ) ,

para i = 1, 2, . . . , n .

1

1.2

Ejercicios

Ejercicio 1. Una empresa contrat´ el servicio de 20 taxis para el traslado de 80 de sus funcionarios
o
a una sucursal. De este modo, cada taxi tiene asignado el traslado de 4 funcionarios. Sin embargo, 25
funcionarios decidieron ir utilizando su propio transporte.
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que un taxitransporte a al menos 3 pasajeros?
a
b) Halle mediante simulaci´n el n´mero de pasajeros en uno de estos taxis. Efect´e 10 simulaciones
o
u
u
usando los n´meros aleatorios: 148, 640, 774, 393, 685, 512, 929, 405, 705, 241.
u
c) Con los resultados obtenidos en el item b, calcule la probabilidad requerida en el item a.
Ejercicio 2. Suponga que la proporci´n diaria de art´
o
ıculosdefectuosos que una l´
ınea continua produce
tiene distribuci´n beta de par´metros α = 1 y β = 9.
o
a
a) ¿Cu´l es la probabilidad de que de los art´
a
ıculos producidos en un d´ m´s del 30% sean defecıa, a
tuosos?
b) Halle mediante simulaci´n la proporci´n de defectos que se obtendr´ en 7 d´ de producci´n.
o
o
ıa
ıas
o
Use los n´meros aleatorios: 234, 098, 789, 666, 235, 589, 906.
u
c) ¿Seasemejan los valores obtenidos en el item b a la proporci´n de defectos diaria esperada?
o
Ejercicio 3. Un estudio ha revelado que la desviaci´n en cent´
o
ımetros con respecto a su valor nominal
de las longitudes de unos ejes producidos por una industria es una variable aleatoria continua de la
forma Y = 2.2X − 1, donde X es una variable aleatoria continua con distribuci´n beta depar´metros
o
a
α = 1 y β = 3.
a) Halle la probabilidad de que la longitud de un eje producido por esta industria difiera de su valor
nominal en m´s de 0.5 cent´
a
ımetros.
b) Suponga que todo eje que difiera en su longitud en m´s de 0.5 cent´
a
ımetros de su valor nominal
es desechado. Si en un d´ se produjeron 20 ejes, determine el n´mero esperado de ejes que
ıa
u
deber´n desecharse.
a
c) Sien un d´ se produjeron s´lo 8 ejes, determine mediante simulaci´n las desviaciones de sus
ıa
o
o
longitudes respecto a su valor nominal. Halle tambi´n el n´mero de ejes que deber´ ser
e
u
ıan
desechados durante ese d´ Use los n´meros aleatorios: 0.321, 0.982, 0.123, 0.276, 0.073, 0.699,
ıa.
u
0.879, 0.501.
Ejercicio 4. Un proyecto consta de tres actividades, A, B y C, que deben ser...