estadistica

Ejemplo resueltos Nº2

Estadística II
Profesora: Daniela Zúñiga

Ejemplo 1
Un sondeo pregunta a una muestra aleatoria simple con reemplazo de 1.100 adultos
varones, “¿juegas fútbol?” Supón que el 12% de todos los adultos varones de Santiago
juegan fútbol.
a) Halla la media y error estándar del estadístico: P = proporción de personas en la
muestra que juega fútbol.
b) ¿Cuál es ladistribución en el muestreo aproximada de P?
c) Halla la probabilidad de que entre el 10% y 14% de la muestra juegue fútbol.
d) ¿Qué tamaño de muestra se precisaría para reducir el error estándar de la proporción
muestral a la mitad del valor que hallaste en a)?
Solución
a)

P = proporción en la muestra de varones que juegan fútbol. E(P) =  =0,12; Error estándar de P =
ee(P) = Raiz( (1-)/1100) = Raiz(0,12 (1- 0,12 )/1100) = 0,010.

b) Por el TLC, para n = 1100, P tiene una distribución aproximadamente normal con media 0,12 y
varianza (0,010) 2.
c)

De b), Pr(0,10 < P < 0,14) = ( (0,14-0,12)/0,010 ) - ( (0,10–0,12)/0,010 ) = ( 2,00 ) - ( -2,00 ) =
0,9772 – 0,0228 = 0,9544.

d)
e) Se busca n tal que ee(P) = Raiz(0,12 (1-0,12 )/n) = 0,010/2 = 0,005. Despejando se obtiene,n =
4.224 varones adultos.

Ejemplo 2
Una compañía de TV por cable que da servicio a 1.200.000 hogares, aplica una encuesta
a una muestra aleatoria simple de 100 hogares. El número medio de horas que los
hogares de la muestra utilizan el servicio resultó 3,8 horas diarias con una desviación
estándar de 2,11.
a) Describe los parámetros, estimadores y estimaciones, implícitos en el enunciadoanterior.
Explica dos propiedades de uno de los estimadores y porque son útiles para estimar
el parámetro.
La compañía cree que el número medio de horas al día que utilizan el servicio los
1.200.000 hogares es 4,5 y la desviación estándar 2,00. Suponiendo que la
compañía tiene razón, se pide:
b) Encuentra la distribución asintótica del promedio de horas al día en una muestra
aleatoriasimple de 100 hogares. Explica cómo se interpreta la distribución anterior
y la relación con el valor 3,8.
c) Calcula la probabilidad de que el promedio de horas del servicio utilizada por los
hogares, en una muestra aleatoria simple 100 hogares, resulte menor que 4,0 horas.

1

Solución
a)
Parámetros:  = número medio de horas al día que los 1.200.000 hogares utilizan el servicio de
TVCable.
2 = desviación estándar del n° de horas al día que los 1.200.000 hogares utilizan el
servicio de TV
Estimadores: Y

= número medio de horas al día que los hogares de la muestra utilizan el servicio
de TV Cable

S2 = desviación estándar del n° de horas al día que los hogares de la muestra utilizan el
servicio de TV.
3,8 y 2,11 son estimaciones de  y 2 respectivamente.
Elestimador Y es insesgado y consistente con respecto a . Es decir, su media es  y su error
estándar o varianza tiende a cero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.
Lo anterior significa que para una muestra grande como la de este ejemplo n = 100 > 30, la
estimación 3,8 estará próxima a  .
a

b) Por el TLC la distribución asintótica de Y es,

Y

~ N ( ,

100 > 30,  = 4,5; 2 =(2,00)2 = 4,00.

2
)  N (4,5; 0,04)
n

dado que n =

La distribución anterior, representa el histograma de frecuencias del n° de horas promedio Y , en
infinitas muestras aleatorias simples de n = 100, seleccionadas desde la población de 1.200.000
hogares. (0,7 ptos) El valor 3,8 es uno de los promedios anteriores.
Aquí un gráfico puede valer más que mil palabras:
c) Se pide Pr( Y <4,0)
= (-2,5) = 0,0062.

usando la distribución de Y , se tiene que, Pr( Y < 4,0)  ( (4,0 – 4,5)/0,2 )

Ejemplo 6
Un indicador de la salud financiera de una empresa es el cuociente, A/P, entre su activo
y pasivo. Se planea seleccionar muestras aleatorias independientes X 1 ,..., X n1 , Y1 ,..., Yn 2
de n1 empresas quebradas y n2 empresas sin problemas respectivamente.
Suponiendo que...