Estadistica

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

1. Para el producto de un monopolista la función de demanda es [pic][pic]. Calcular el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.
Solución
[pic]
[pic].Único valor crítico en [pic]
|I |[pic] |[pic] |[pic] es creciente en [pic] y decreciente en [pic]|
| | | |Existe máximo relativo en [pic] |
|[pic] |+ |- | |
|[pic] |Creciente |Decreciente ||

Como es el único extremo local en [pic] es también máximo absoluto en ese intervalo. Por tanto, se obtiene el máximo ingreso con p = $50/unidad.

2. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C dado por [pic] Evaluar el nivel de producción x donde el costo marginal alcanza sumínimo.
Solución
Costo marginal [pic]. Esta es la función para la cual queremos obtener un máximo:
[pic]. Único valor crítico en [pic].
[pic], luego entonces existe un mínimo local y también absoluto en [pic].
Por lo tanto para que el ingreso marginal sea mínimo el nivel de producción debe ser de 5 unidades.

3. Para el producto de un monopolista, la función demanda es [pic] , yla función de costo promedio es [pic].
a) Evaluar el precio y la producción que maximizan la utilidad.
b) A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal.
Solución
a) [pic].
[pic].
[pic]. Único valor crítico en [pic].
[pic], luego existe un máximo local y también absoluto en 2,500.
Entonces, para obtener la máxima utilidad posible sedeben fabricar y vender 2,500 unidades a un precio de [pic]$1/unidad.
b) [pic].
Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de producción es de 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es máxima.

4. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dado por [pic], para [pic], en donde x está en miles deunidades y C en dólares.
a) Calcular a qué nivel dentro del intervalo [pic] debe fijarse la producción para minimizar el costo total y cuál es el costo total mínimo.
b) Si la producción se encontrara dentro del intervalo [pic], calcular qué valor de x minimizaría el costo total.
Solución
[pic].
Valores críticos [pic]. [pic]. Por lo tanto existe un máximo local en x = 5 y unmínimo local en x = 7.
a) En el intervalo [pic], como los dos valores críticos pertenecen al intervalo, no se puede asegurar que el mínimo absoluto ocurra en x = 7, luego se requiere evaluar la función en esos valores críticos y en los extremos del intervalo:
[pic].
Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 2,000 unidades. Costo mínimo: 92 dólares.
b) En el intervalo[pic] [pic]. El 2 no pertenece al intervalo.
Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 7,000 unidades. Costo mínimo: 192 dólares.

5. La función de costo total de una fábrica está dada por [pic] y la demanda del producto está dada por [pic], donde p y x denotan el precio en dólares y la cantidad respectiva en miles de unidades. Se grava con $3(dólares) de impuesto cada unidadproducida, que el fabricante añade a su costo.
a) Calcular el nivel de producción (después de creado el impuesto) necesario para maximizar las utilidades.
b) Calcular la utilidad máxima.
Solución
Función ingreso: [pic]. Función costo: [pic]
Función utilidad:
[pic], para [pic].
[pic], único valor crítico en el intervalo[pic].
[pic], luego existe un máximo...