Estadistica

Universidade Federal da Bahia
´
Instituto de Matematica
´
´
Curso de Pos-graduacao em Matematica
¸˜
Dissertacao de Mestrado
¸˜

´
Caracterizacao Topologica de Superf´
¸˜
ıcies M´
ınimas
de Curvatura Total Finita

Jacson de Jesus dos Santos

Salvador — Bahia
Maio 2007

´
Caracterizacao Topologica de Superf´
¸˜
ıcies M´
ınimas
de Curvatura Total Finita

por
Jacson deJesus dos Santos

Disserta¸˜o apresentada ao colegiado do curso de P´s-Gradua¸˜o em
ca
o
ca
Matem´tica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial
a
para obten¸˜o do T´
ca
ıtulo de Mestre em Matem´tica.
a

Banca examinadora:

Profa . Dra . Ana Lucia Pinheiro Lima (Orientadora)

Profa . Dra . Walcy Santos

Prof. Dr. Enaldo Vergasta

Santos, Jacson de Jesus dos
´“Caracterizacao Topologica de Superf´
¸˜
ıcies M´
ınimas de Curvatura Total Finita” /Salvador-Ba, 2007.
Orientadora: Profa Dra . Ana Lucia Pinheiro Lima.
Disserta¸˜o de Mestrado apresentada ao curso de P´s-gradua¸ao em Maca
o
c˜
tem´tica da UFBA, 30 p´ginas.
a
a
Palavras-Chave: Superf´
ıcies M´
ınimas Completas, Curvatura Total Finita.

`
A minha m˜e Julieta, mua
lher vitoriosa,e a minha
irm˜ Sinha, grandes aliadas
a
nessa jornada.

“ A sabedoria ´ a coisa principal; adquire pois a
e
sabedoria, emprega tudo que possuis na aquisi¸˜o de
ca
entendimento.”

Prov´rbios 4:7
e

Agradecimentos
A Deus por todas as oportunidades que me concedeu. Por ter me iluminado e
orientado sempre. Por todas as ben¸aos concedidas.
c˜
Especiais ` minha orientadoraProfessora Ana Lucia Pinheiro Lima, pela aten¸ao e
a
c˜
compreens˜o, pelas valiosas li¸˜es e pelo exemplo de profissionalismo a ser seguido.
a
co
`
A Professora Walcy Santos, pelas valiosas contribui¸˜es dadas a esse trabalho.
co
Ao professor Enaldo Vergasta, pela sua paciˆncia, incentivo e grandiosas li¸oes. Aos
e
c˜
professores Jos´ Nelson, Joseph Yarte, Vilton e Andreas, pelas ricas aulas.
eEspeciais `s professoras Maria de F´tima Costa Leal, Maridete Brito Cunha e ao
a
a
professor Luis Roque, que estiveram presentes em toda a minha vida acadˆmica e s˜o grandes
e
a
respons´veis por esse momento.
a
A meu primo Gredson dos Santos e a Cl´udio Gomes Pio, aliados dessa dif´
a
ıcil
jornada.
`
A toda minha fam´ em especial ao meu tio Manoel e minha v´ Joana, pelo apoio
ılia,o
incondicional e sem a qual n˜o teria conseguido terminar esse Mestrado.
a
Aos amigos Danilo, Adem´rio e Agnaldo Alves, grandes incentiovadores.
a
Aos colegas de Mestrado, em especial ` Ariane, Jarbas, Tiago, Mariana, Rolando e
a
Tailson.
`
As professoras Maria Eliza e Marisalva.
A todos que direta ou indiretamente contribu´
ıram para que esse momento se concretizasse.
vi

ResumoNeste trabalho ser´ descrito o lugar topol´gico em R3 de uma superf´ completa de
a
o
ıcie
tipo topol´gico finito que tem vetores normais bem definidos no infinito. Em particular, para
o
as superf´
ıcies m´
ınimas que possuem essas caracter´
ısticas. Esse resultado ser´ generalizado
a
naturalmente para subvariedades de codimens˜o arbitr´ria em Rn . Por fim, ´ apresentada
a
a
e
ademonstra¸ao feita por Jorge e Meeks para a desigualdade de Schern- Osserman, obtendo
c˜
uma condi¸ao para o caso da igualdade em R3 . Da´ prova-se que o caten´ide ´ o unico
c˜
ı,
o
e´
anel m´
ınimo mergulhado em R3 com curvatura total finita e que o plano ´ a unica superf´
e´
ıcie
m´
ınima, completa, imersa em R3 , com curvatura total finita e apenas um fim mergulhado.

vii

Abstract
Inthis work will be describe the topological place in R3 of a complete surface of
finite topological type which has well defined normal vectors at infinity. In particular, to the
minimal surfaces that possess these caracteristics. This result will be naturaly generalize to
submanifolds of arbitrary codimension in Rn . Finally, is presented the demonstration done
by Jorge e Meeks to the inequality...