Estadistica

I. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES
I.1 Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral.
Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. La variable aleatoria la notaremos con letras en mayúscula X, Y, ... y con lasletras en minúscula x, y, ... sus valores.
La variable aleatoria puede tomar un número numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de variables aleatorias : discretas y continuas.

EJEMPLO:
1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayosindependientes:
¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?
¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?
¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?
EJERCICIOS:
1. El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si elrestaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

2. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 10 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho,
¿cuál es la probabilidad deque falle un componente en 25 horas?
¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?
¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

3. Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria Xigual al número de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?

4. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécularara.

5. Un avión de alto rendimiento contienen tres computadoras idénticas. Se utiliza únicamente una para operar el avión; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operación la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cadahora representa un ensayo independiente,
(a) ¿Cuál es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas?






I.2 Distribución binomial

Una forma corriente de descripción de los experimentos aleatorios equiprobables con variable discreta es la distribución binomial. En este tipo dedistribución se estudia la probabilidad de que se produzca un cierto resultado, que se describe por medio de dos parámetros: el número de repeticiones realizadas del experimento y la probabilidad individual del suceso aleatorio que se persigue como resultado.
Condiciones para una distribución binomial

Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:
El experimentoaleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.
En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ), que es igual a q = 1 - p.
El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de...