Estadistica

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

|Bernoulli |
|Función de distribución de probabilidad |
|Parámetros |[pic] |
|Dominio |[pic] |
|Función de |[pic] |
|probabilidad(fp) | |
|Función de |[pic] |
|distribución (cdf) | |
|Media |[pic] |
|Mediana |N/A |
|Moda |[pic]|
|Varianza |[pic] |
|Coeficiente de |[pic] |
|simetría | |
|Curtosis |[pic] |
|Entropía |[pic] |
|Función generadora de|[pic]|
|momentos (mgf) | |
|Función |[pic] |
|característica | |

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científicosuizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q = 1 − p).
Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernouilli de parámetrop.
X˜Be(p)
La fórmula será:
f(x) = px(1 − p)1 − x con x = {0,1}
Su función de probabilidad viene definida por:
[pic]
Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos repetidos.

Propiedades Características

Esperanza matemática:
[pic]

Varianza:
[pic]Función generatriz de momentos:
[pic]

Función característica:
[pic]

Moda:
0 si q > p (hay más fracasos que éxitos)

1 si q < p (hay más éxitos que fracasos)

0 y 1 si q = p (los dos valores, pues hay igual número de fracasos que de éxitos)

Asimetría (Sesgo):
[pic]

Curtosis:
[pic]

La Curtosis tiende a infinito para valoresde p cercanos a 0 ó a 1, pero para [pic]la distribución de Bernoulli tiene un valor de curtosis menor que el de cualquier otra distribución, igual a -2.

Distribuciones Relacionadas

Si [pic]son n variables aleatorias identicamente distribuidas con la distribución de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito p en todas, entonces la variable aleatoria [pic]presenta una DistribuciónBinomial de probabilidad.
X˜Bi(n,p)

Ejemplo

"Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".
Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sólo existirán dosresultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).
Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.
X˜Be(0,5)
P(X = 0) = f(0) = 0,500,51 = 0,5
P(X = 1) = f(1) = 0,510,50 = 0,5
Ejemplo:
"Lanzar un dado y salir un 6".
Cuando lanzamos un dado tenemos 6 posibles resultados:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Estamos realizando un único experimento...