Estadistica

Unidad 1 Distribuciones de probabilidad continuas
1.1 Introducción
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable
aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la
probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida
sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores dela variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la
distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea
menor o igual que x.
Definición de variable aleatoria continua
Variable aleatoria continua (x). Se le denominavariable porque puede tomar diferentes
valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque
puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.
Ejemplo 1.1;
a) x → Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas
x → 5.0”, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96
b) x → Variable que nos define la longitud de un cable ocircuito utilizado en un arnés
de auto
x → 20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0
c) x → Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas
muestras de mineral
x →14.8 gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8
Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar
cualquier valor, entero o fraccionario, la forma de distinguir cuando setrata de una variable
continua es que esta variable nos permite medirla o evaluarla, mientras que una variable
discreta no es medible, es una variable de tipo atributo, cuando se inspecciona un producto
este puede ser defectuoso o no, blanco o negro, cumple con las especificaciones o no
cumple, etc.

1.2 Distribución de probabilidad continua
Es una función que mide la concentración deprobabilidad alrededor de los valores de
una variable aleatoria continua.
1. Es generada por una variable continua (x).
x → Es una variable que puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios.
x → 1.0, 3.7, 4.0, 4.6, 7.9, 8.0, 8.3, 11.5, .....,
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Ing. Cecilia Guadalupe Mota Gutiérrez

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2. f ( x) ≥ 0 Las probabilidades asociadas a cadauno de los valores que toma x deben
ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad
deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero.
∞

3. F ( x) = ∫ f ( x) dx = 1

La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de

−∞

los valores que toma x debe ser igual a 1. El área definida bajo la curva de la función de
densidad de probabilidaddeberá ser de 1. Lo que ya la convertiría en una función de
distribución de probabilidad.

Propiedades
Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:
•
•

Es una función continua por la derecha.
Es una función monótona no decreciente.

Además, cumple

lim F ( x) = 0 y lim F ( x) = 1

x→−∞

x →∞

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que(a < b), los sucesos

( X ≤ a) y

(a < X ≤ b) son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso ( X ≤ a) , por lo que
tenemos entonces que:
P ( X ≤ b) = P ( X ≤ a ) + P (a < X ≤ b)
P (a < X ≤ b ) = P ( X ≤ b) − P ( X ≤ a )

y finalmente

P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a )
P ( X ≤ a ) = 1− F ( a )
P ( X ≥ a ) = F (a )
Por lo tanto, una vez conocida la función de distribución F(x) paratodos los valores de
la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la
variable. Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y
sin embargo, para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso
de la función de densidad.
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Ing. Cecilia Guadalupe Mota Gutiérrez

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