Estadistica

Estadística I
Muestral de Medias con Varianza desconocida.
Definición:
La distribución de probabilidad de un estadístico se llama distribución muestral de la media.

La distribución de probabilidad de x se acostumbra denominar a la desviación estándar de la distribución muestral como error estándar del estadístico.

La distribución muestral de un estadístico dependerá del tamaño de lapoblación, del tamaño de las muestras y del método de selección de las muestras.

Distribución muestral de la media

Si recordamos a la distribución normal, esta es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica.

Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variablealeatoria, mediante la siguiente fórmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución z.

Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestralde medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la fórmula de la distribución normal con y , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra , quedaría de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

Ejemplo:
Una empresa eléctrica fabrica focos quetienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.
Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775horas es de 0.0062.


Ejemplo:
Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:
a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.
b. El número de mediasmuestrales que caen por debajo de 172 centímetros.
Solución:
Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a.





(0.7607)(200)=152 medias muestrales
b.


(0.0336)(200)= 7 mediasmuestrales




Distribución Muestral de Diferencia de Medias
Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media 1 y desviación estándar 1, y la segunda con media 2 y desviación estándar 2. Más aún, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral paracada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias o la distribución muestral del estadístico

La distribución es aproximadamente normal para n130 y n230. Si las poblaciones son normales, entonces la distribución muestral de medias es normal sin importar los tamaños de las muestras.
En ejerciciosanteriores se había demostrado que y que , por lo que no es difícil deducir que y que .
La fórmula que se utilizará para el calculo de probabilidad del estadístico de diferencia de medias es:

Ejemplo:
En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para...