Estadistica

UNIVERSIDAD LATINA
CAMPUS SUR

LICENCIATURA EN INFORMATICA

MATEMATICAS III
ESTADISTICA DESCRIPTIVA

PROFESORA:
ADRIANA VILLASEÑOR RUIZ

INTEGRANTES DEL EQUIPO:
AVILA CORTES AGUSTIN
HERNANDEZ ESPINOSA CESAR ALBERTO
OJEDA GUTIERREZ EDWIN
RAMIREZ ALBARRAN LUIS ENRIQUE
SILVA MALDONADO CESAR

GRUPO: 3010

TURNO: MATUTINO

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO
Cuando uno llega porprimera vez al inicio de este teorema ya a intuido una relación entre el cálculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya que como el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre delteorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas.
Para ver cómo Newton y Leibniz se dieron cuenta de ello,consideremos las aproximaciones que se muestran en la figura 1 y la figura 2. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, utilizamos el cociente Δy Δx (Pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de un región bajo una curva, usamos el producto ΔyΔx (Área de un rectángulo). Así pues, es su primer paso derivación e integración son operaciones inversas (División y Multiplicación).El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas.

El Teorema Fundamental del Cálculo
Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b] , entonces
∫ b a f(x)dx=F(b)−F(a)

Demostración Teorema Fundamental del Cálculo
TeoremaFundamental del Cálculo, Primera Parte
Si es continua en, la función esta definida por:

es continua en

y derivable en:

y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:

Ecuación 2

y así, cuando ,

Suponemos que
,

Dado es continuo

.
De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

Como, podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 yuniéndola con la ecuación anterior obtendremos:
Ecuación 3

Ahora hacemos que
.
Entonces:
y

.
Como y existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremos y medios llegamos a la conclusión de que:
Ecuación 4

Si, podemos decir que es un límite unilateral. Si es diferenciable en, entonces es continua en , modificado para limitesunilaterales podemos decir que es continua en
Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de la forma:
.
Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte
Si es continua en, entonces:

en donde es cualquier anti derivada de , esto es, .

Sea

Sabemos que

Si es cualquier anti derivada de en, donde F y g difieren en unaconstante.

Decimos que:

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
Unaconsecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
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