Estadistica

Cap´ ıtulo 3

Propiedades de estimadores y estimaci´n puntual o
3.1. Propiedades de estimadores
a) Un estimador es cualquier caracter´ ıstica num´rica de la poblaci´n. e o b) Es posible obtener estimadores diferentes para un mismo par´metro poblacional. a c) El error de estimaci´n y el sesgo son conceptos que se refieren a lo mismo. o d ) Se dice que un estad´ ıstico es un estimador eficientedel par´metro de una poblaci´n si es insesgado a o y su varianza es m´ ınima. ˆ e) El hecho de que un estimador θ sea insesgado significa que cualquier estimaci´n de θ siempre va o a ser igual al par´metro poblacional. a ˆ ˆ ˆ ˆ f ) Si ECM(θ1 ) < ECM(θ2 ) eso significa que Var(θ1 ) < Var(θ2 ). ˆ ˆ ˆ ˆ g) Si ECM(θ1 ) < ECM(θ2 ) eso significa que θ1 es insesgado y θ2 no lo es. 2. De una poblaci´n conmedia µ y varianza σ 2 se extraen dos muestras aleatorias simples e independientes o ¯ ¯ de tama˜os n1 y n2 = n1 /2. Sus medias muestrales son X1 y X2 respectivamente. Para estimar µ se n proponen tres estimadores: ¯ µ1 = X1 ˆ ¯ µ2 = X2 ˆ ¯ ¯ X1 + X2 µ3 = ˆ 2 a) Indique si son insesgados. b) Encuentre su varianza. c) ¿Cu´l de los tres estimadores es mejor? a 3. Si X1 , X2 , · · · , Xn son variablesaleatorias independientes e id´nticamente distribuidas Bernoulli con e par´metro p, considere los siguientes estimadores de dicho par´metro: a a p1 = ˆ p2 = ˆ ¿Son estimadores insesgados de p? (Xi − 1) n−1
2 Xi n

1. Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

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Cap´ ıtulo 3: Propiedades de estimadores y estimaci´n puntual o

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4.Si X1 y X2 son dos variables aleatorias independientes y tales que E[X1 ] = E[X2 ] = µ y Var(X1 ) = Var(X2 ) = σ 2 , determine si el estimador: σ1 = ˆ2 es un estimador insesgado para σ 2 . 5. Con base en una muestra aleatoria de 100 observaciones, tomadas de una poblaci´n con media µ y o varianza σ 2 , considere los siguientes estimadores de µ: µ1 = ˆ µ2 = ˆ X1 + X2 + X3 + · · · + X1 00 100 X1 +X2 + X3 + · · · + X9 0 90 (X1 − X2 )2 2

a) ¿Cu´l es la diferencia relativa de µ2 con respecto de µ1 ? a ˆ ˆ b) ¿Cu´l es la causa de dicha ineficiencia? a 6. Se elige una muestra aleatoria independiente de 3 observaciones de una poblaci´n con funci´n de o o distribuci´n uniforme: o 1 f (x) = ∗ I(a,b) (x) b−a a) Encuentre la media y la varianza de la funci´n de densidad. o Se definen los siguientesestimadores para la media de la distribuci´n: o µ1 = X1 /3 + X2 /3 + X3 /3 ˆ µ2 = X1 /6 + X2 /6 + 2X3 /3 ˆ µ3 = X1 /3 + X2 /6 + X3 /6 ˆ b) Obtenga el valor esperado de los estimadores. c) ¿Cu´les de estos estimadores son insesgados? a d ) Determine la varianza de cada estimador. e) ¿Cu´l de estos es el mejor estimador? a 7. Sea X1 , X2 , · · · , Xn una muestra aleatoria de una poblaci´n con mediaµ y varianza σ 2 , considere los o tres siguientes estimadores para µ: X1 + X2 µ1 = ˆ 2 X1 X2 + · · · + Xn−1 Xn µ2 = ˆ + + 4 2(n − 2) 4 ¯ µ3 = X ˆ a) Determine si son insesgados. b) Encuentre la varianza de cada estimador e identifique cu´l es el m´s eficiente. a a c) Determine la eficiencia relativa (ER) de µ3 con respecto a µ2 y µ1 respectivamente. ˆ ˆ ˆ 8. Un gerente de producci´n supone que elpeso de un objeto se distribuye normalmente con variano za conocida, pero con media µ desconocida. Se toma una muestra aleatoria de cuatro observaciones independientes: X1 , X2 , X3 , X4 . Considere los siguientes estimadores de µ: µ1 = 2X1 ˆ µ2 = ˆ 4X1 + 3X2 + 2X3 + X4 10 X1 + X2 + X3 + X4 µ3 = ˆ 4
Revisi´n: 6 de septiembre de 2011 o

Estad´ ıstica II

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Cap´ ıtulo 3: Propiedades deestimadores y estimaci´n puntual o

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a) Determine cu´les estimadores son insesgados. a b) ¿Cu´l de los estimadores insesgados es el de mayor eficiencia relativa? a c) ¿Cu´l de los estimadores tiene el menor error cuadr´tico medio? a a 9. Sea X1 , X2 , X3 y X4 una muestra aleatoria de una distribuci´n exponencial con par´metro θ descoo a nocido. Considere los siguientes estad´ ısticos: X1 +...