ESTADISTICA

MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe cómo se distribuyen las probabilidades de los diferentes valores de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria discreta ―X‖, la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad, a la que también se conoce como función de densidad,representada por f(X), que define la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.
Como la probabilidad del universo (o evento universal) debe ser igual a 100%, y además cualquier evento que se defina debe estar contenido en el evento universal, cuando hablamos de cómo distribuir las probabilidades nos referimos a cómo es que se reparte este 100% de probabilidad en los diferentes eventos.
Ejemplo1. Considera el experimento aleatorio que consiste en arrojar un dado dos veces y sumar los resultados de ambas caras. Se desea conocer cuál es la probabilidad de que la suma sea 7.
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Solución:
La variable X puede tomar los valores del 2 al 12, inclusive, por lo que se trata por lo que se trata de una variable aleatoria discreta. La siguiente tabla nos permitirá calcular las probabilidades detodos los eventos simples.
Resultado
Segundo dado
Primer dado
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11
12
En ella vemos que las diagonales, a las que se ha dado diferente color, determinan el mismo valor de la suma para diferentes combinaciones de resultados de cada uno de los dos dados. Por ejemplo, si queremos saber laprobabilidad de que la suma sea 7, nos fijaríamos en la diagonal amarilla y observaríamos que hay 6 formas distintas de obtener tal valor, de un total de 36, por lo que la probabilidad es 7/36.
El ejemplo nos permite darnos cuenta además que también podemos calcular fácilmente la probabilidad de que la suma sea menor o igual a 7 y que para ello debemos contar el número de casos que se acumulandesde la diagonal superior izquierda hasta la diagonal amarilla, que corresponden a los valores 2, 3, 4, 5 ,6 y 7. Esto es, se estaría considerando que:
P (X≤7) = P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) + P (7)
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Para cualquier otro resultado también estaríamos acumulando probabilidades desde la que corresponde al resultado 2 hasta el resultado tope considerado.
De este modo se construye, a partirde la función de probabilidades, otra función, a la que se denomina función de distribución acumulativa y que se denota como F(x), donde la x indica el valor hasta el cual se acumulan las respectivas probabilidades. Por ejemplo, P (X≤7) corresponde a F(7).
La tabla siguiente resume la función de probabilidades y la función de distribución acumulativa para el caso del ejemplo
i Función deprobabilidad Función de distribución acumulativa P( X = i ) P(X ≤ i ) 2 1/36 1/36 3 2/36 1/36 + 2/36 = 3/36 4 3/36 3/36 + 3/36 = 6/36 5 4/36 6/36 + 4/36 = 10/36 6 5/36 10/36 + 5/36 = 15/36 7 6/36 15/36 + 6/36 = 21/36 8 5/36 21/36 + 5/36 =26/36 9 4/36 26/36 + 4/36 =30/36 10 3/36 30/36 + 3/36 =33/36 11 2/36 33/36 + 2/36 = 35/36 12 1/36 35/36 +1/36 = 36/36 = 1
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Obsérvese que el valor de la función dedistribución acumulativa para el
último valor de la variable aleatoria acumula precisamente 100%.
Esperanza y varianza
Cuando se trabaja con variables aleatorias, no basta con conocer su
distribución de probabilidades. También será importante obtener algunos
valores típicos que resuman, de alguna forma, la información contenida
en el comportamiento de la variable. De esos valores importanfundamentalmente dos: la esperanza y la varianza.
Esperanza.
Corresponde al valor promedio, considerando que la variable aleatoria
toma los distintos valores posibles con probabilidades que no son
necesariamente iguales. Por ello se calcula como la suma de los
productos de cada posible valor de la variable aleatoria por la
probabilidad del respectivo valor. Se le denota como μ
Esperanza =...