Estadistica

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Estadistica1 |
Unidad 3 |
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27/10/2012 |

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¿Qué es la distribución de una variable discreta?
Es aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo quetenemos entonces que la fórmula para obtener la distribución de una variable discreta es la siguiente:

Donde esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor.
Distribución binomial
.
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con unaprobabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

* |
Características analíticas
Su función de probabilidad es

donde
siendo las combinaciones de en ( elementos tomados de en )
Propiedades

Propiedades reproductivas
Dadas n variables binomiales independientes deparámetros ni (i = 1,..., n) y , su suma es también una variable binomial, de parámetros n1+... + nn, y , es decir,

Distribución de poisson
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
Propiedades
La función demasa de la distribución de Poisson es

donde
* k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
* λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto yestamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
* e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard enλ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan lafunción parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

* Distribución binomialLa distribución de Poisson es el caso límite de la distribución binomial. De hecho, si los parámetros n y de una distribución binomial tienden a infinito y a cero de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.
* Aproximación normal
Como consecuencia del teorema central del límite, para valores grandes de , una variable aleatoria de Poisson X puedeaproximarse por otra normal dado que el cociente

converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.
* Distribución exponencial
Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución...