Estadistica

Proyecto

MaTEX

Distribuciones
Bidimensionales
Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

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Inicio Art´ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

ISBN: 84-688-8267-4

Tabla de Contenido
1.
2.
3.
4.

Introducci´
on
Diagramas de dispersi´
on
Covarianza
Coeficiente de correlaci´
on
• Propiedades del coeficiente de correlaci´
on
5. Rectas de regresi´
on
5.1.Propiedades de las rectas de regresi´
on
6. Ejercicios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

Secci´
on 1: Introducci´
on

3

1. Introducci´
on
En el cap´ıtulo de Estad´ıstica Descriptiva el alumno estudi´o las t´ecnicas para resumir
informaci´on del conjunto de datos para una variable X.
Ahora bien, los datos que tratamos de estudiar pueden incluir valores de varias variables
relacionadasentre si. Por ejemplo:
en un individuo su altura, su peso y su edad,
en un gas su presi´on, su volumen y su temperatura,
en un veh´ıculo su potencia, su velocidad y su consumo, etc.
Por ello en este cap´ıtulo estudiaremos las t´ecnicas para resumir informaci´on de la distribuci´on del conjunto de datos de los que se conocen dos variables X e Y , llamadas distribuciones bidimensionales o bivariadas.Secci´
on 2: Diagramas de dispersi´
on

4

2. Diagramas de dispersi´
on
Al igual que ocurre en el caso unidimensional, tambi´en es posible hacer gr´aficos de distribuciones de frecuencias bidimensionales.
Hay un gr´afico bidimensional especialmente u
´til; ´este es el diagrama de dispersi´on que
es simplemente un dibujo cartesiano de la muestra observada.

A la vista del diagrama de dispersi´
onde
la figura parece constatarse que el peso
aumenta con la altura.

y

peso

Como ilustraci´on, la figura proporciona
el diagrama de dispersi´on de los datos de
la muestra de 33 alumnos donde se han
medido su altura X y su peso Y .

altura

x

Secci´
on 3: Covarianza

5

3. Covarianza
En las siguientes figuras se muestran cuatro diagramas de dispersi´on. En algunos se aprecia que los puntosest´an m´
as alineados que en otros, es decir, en algunos de ellos hay mayor
grado de asociaci´on lineal.
En el gr´afico a) se aprecia
alto grado de asociaci´on lineal, mientras que en b) hay
mayor dispersi´on y muy
poco grado de asociaci´
on lineal.

y

a)

b)

y

x

En el c) hay mucha dispersi´on y nulo grado de asociaci´on lineal, mientras que
en d) los puntos casi est´
an
alineados.

y

c)

x

y

xd)

x

Secci´
on 3: Covarianza

6

La medida de asociaci´
on lineal m´
as simple entre dos variables es la covarianza. Viene
definida por
n

(xi − x)(yi − y)
Cov(X, Y ) = Sxy =

i=1

n
y si se opera, se obtiene la expresi´
on m´
as simplificada:

(1)

n

xi · yi
Sxy =

i=1

n

−x·y

Veamos un ejemplo de su c´
alculo para dos variables x e y
xi
10
30
60
90
120

yi
0,5
1,0
3,0
5,0
6,5

xi yi
5,030,0
180,0
450,0
780,0

310

16

1445.0

xi
310
=
= 62
n
5
yi
16
=
= 3,2
y=
n
5
1445
Sxy =
− x · y = 90,6
5
x=

(2)

Secci´
on 4: Coeficiente de correlaci´
on

7

4. Coeficiente de correlaci´
on
El inconveniente de la covarianza como medida de la asociaci´on lineal entre dos variables
es que depende de las unidades de X e Y , por ello se define el coeficiente de correlaci´on
entre dos variablesrxy , por
Sxy
rxy =
(3)
Sx · Sy
Se define como el cociente entre la covarianza de X e Y y el producto de las desviaciones
t´ıpicas.

• Propiedades del coeficiente de correlaci´on
Este n´
umero no tiene dimensiones y su valor est´a entre
−1 ≤ rxy ≤ 1
Los valores extremos 1 y -1 se alcanzan solamente si todos
los datos se sit´
uan exactamente sobre una recta.
Si la relaci´
on lineal es muy peque˜
na,el valor de rxy es pr´oximo a cero.

Secci´
on 4: Coeficiente de correlaci´
on

8

Ejemplo 4.1. De un muelle cuelgan pesas, obteni´endose los siguientes alargamientos:
Pesos (g)
Alargamiento (cm)

10
0.5

30
1

60
3

90
5

120
6.5

Calcula e interpreta el coeficiente de correlaci´
on entre estas variables.
Soluci´
on: Sea x los pesos e y los alargamientos,
xi
10
30
60
90
120

yi
0,5
1,0
3,0...