Estadistica


Estadística I
“Regla empírica y Datos bivariados”

Regla Empírica
Es posible que dos conjuntos de datos distintos tengan el mismo rango pero difieran considerablemente en el grado de variación de los datos. En consecuencia, el rango es una medida relativamente insensible de la variación de los datos. La varianza tiene importancia teórica, pero es difícil de interpretar porque las unidades demedición de la variable de interés están elevadas al cuadrado. En cambio, las unidades de medición de la desviación estándar son las unidades de la variable. Si la desviación estándar se combina con la media del conjunto de datos, resulta fácil interpretarla.
Si un conjunto de datos tiene una distribución aproximadamente simétrica se pueden utilizar las siguientes reglas prácticas para describirel conjunto de datos:
• Aproximadamente el 68 % de las observaciones quedan a una desviación estándar de su media (es decir, dentro del intervalo)
• Aproximadamente el 95 % de las observaciones quedan a dos desviaciones estándar de su media (es decir, dentro del intervalo)
• Casi todas las observaciones quedan a tres desviaciones estándar de su media (es decir, dentro del intervalo)
La reglaempírica es el resultado de la experiencia práctica de investigadores en muchas disciplinas, que han observado muy diferentes tipos de conjuntos de datos de la vida real.
Para un conjunto de datos, cuya distribución de frecuencia es la "forma de campana" y simétrica (como en la figura), lo siguiente es cierto.


Aproximadamente el 68% de los resultados entran dentro de 1 desviación estándar de lamedia (en el intervalo [-s, +s] para las muestras o [μ-σ, μ+σ] para las poblaciones).
Aproximadamente el 95% de los resultados entran dentro de 2 desviación estándar de la mediasta (en el intervalo [-2s, +2s] para las muestras o [μ-2σ, μ+2σ] para las poblaciones).
Aproximadamente el 99.7% de los resultados entran dentro de 3 desviación estándar dela media (en el intervalo [-3s, +3s] para las muestraso [μ-3σ, μ+3σ] de las poblaciones).
Teorema de Chebyshev
Teorema de Chebyshev: Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1 - 1/k2, donde k es una constante mayor que 1.
o Regla empírica: Para una distribución de frecuencias simétrica de campana,aproximadamente 68% de las observaciones estará a más y menos una desviación estándar desde la media, aproximadamente 95% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos desviaciones estándares de la misma; y prácticamente todas las observaciones (99,7%)se hallarán a más y menos tres desviaciones con respecto a la media.

Para un conjunto de datos, lo siguiente es cierto.
-Por lo menos 3/4 de losresultados entran dentro de 2 desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-2s, +2s] para las muestras o [μ-2σ, μ+2σ] para las poblaciones).
-Por lo menos 8/9 de los resultados entran dentro de 3 desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-3s, +3s] para las muestras o[μ-3σ, μ+3σ] para las poblaciones).
-Por lo menos 15/16 de los resultados entran dentro de 4 desviaciones estándarde la media (en el intervalo [-4s, +4s] para las muestra o [μ-4σ, μ+4σ] para las poblaciones). ...
-Por lo menos 1-1/k2 de los resultados entran dentro de k de las desviaciones estándar de la media (en el intervalo [-ks, +ks] para las muetras o [μ-kσ, μ+kσ] para las poblaciones).
EJEMPLOS
"Supongamos que los resultados de la media y la desviación estándar de una base de datos son:
x= 106.4300
σ=100.0936
Entonces sustituimos dichos valores en la fórmula:
(106.4300-2(100.0936), 106.4300+2(100.0936)
=(106.4300-200.1872, 106.4300+200.1872)
=(-93.7573, 306.6172)
Como vemos el resultado que obtenemos es a manera de un intervalo."
2) 1-1/K2(100%)
"Suponiendo que tenemos:
x= 106.4300
σ= 100.0936
Sustituimos en la fórmula:
1-1/(2)2(100%) = 1- 1/4(100%)
=1-0.25(100%)= 0.75(100%)
= 75%
Como...