Estadistica

Integrales impropias
Definición de integral impropia y primeras propiedades
El concepto de integral se extiende de manera casi espontánea a situaciones más generalesque las que hemos examinado hasta ahora. Consideremos, por ejemplo, la función no acotada
f : (0,1] → R, f(t) = logt.
Puesto que f es continua, para cada x ∈ (0,1]existe su integral en [x,1], que vale
x1f=x1logt dt=[t logt-t]t=1t=x= -1-xlogx+x
Y como
limx→ox1f=limx→o-1-xlog x+x=-1
Parece natural escribir simplemente
01f=-1Igualmente, si en el intervalo no acotado [0,+∞) tomamos la función continua ft=e-1para cada x ∈ [0,+∞) tenemos:
0xf=0xe-tdt=e-tt=ot=x= -e-x +1limx→∞+0xf=limx→∞+(e-x+1)=1
Lo que sugiere escribir
0+∞e-tdt=1
Siguiendo estas ideas podemos definir en distintas situaciones una integral generalizada o integral impropia, lo que nos llevará aestudiar diferentes tipos de condiciones que permitan asegurar su existencia.
Integrales impropias: Definición de integrales impropias convergentes, divergentes,oscilantes
Sea A ⊆ R. Se dice que una función f : A → R es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.Por ejemplo, todas lasfunciones continuas y todas las funciones monótonas, acotadas o no, son localmente integrables.Obsérvese que si −∞ < a < b ≤ +∞, una función f es localmenteintegrable en [a,b) si y solo si es integrable en cada intervalo [a,x] ⊆ [a,b). Análogamente, si −∞ ≤ a < b < +∞, una función f es localmente integrable en (a,b] si ysolo si es integrable en cada intervalo [x,b] ⊆ (a,b]. Consideremos en primer lugar funciones definidas en intervalos del tipo [a,b), donde b es finito o +∞.