Estadistica

Métodos estadísticos y numéricos

Estimación por Intervalos de confianza

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PROBLEMAS RESUELTOS DE ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

1)Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% deconfianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?

SOLUCIÓN:
Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica, utilizamos es estadístico pivote:

X −µσ

∈ N (0,1) y para 1-α = 0,95 el intervalo de confianza es:

n

(X −

σ
n

zα , X +
2

σ
n

z α ) ¿Quién es en nuestro caso z α ?. Es un valor tal que en la tabla de
2
2

la normal, sabemos que F ( z α ) = 1 −
2

α
2

= 0,975 ya que α = 0,05

y

α
2

= 0,025

por tanto

z α =1,96. Dado que nuestra media muestral X = 41,924 , el tamaño muestral n=10 y σ =0,3,
2

sustituyendo se obtiene el intervalo: (41,924 – 0,186 , 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error. El intervalo para la media es (41,738 , 42, 11) Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se estima en 41,92 con un margen de error de ± 18,6 %

2) La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos alazar,
para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal) SOLUCIÓN: Hay que utilizar el estadístico pivote g ( X , µ ) =

r

X −µ ∈ t n−1 dado que no conocemos la S n−1 n

desviación típicapoblacional y si conocemos la cuasi desviación típica muestral. r Se ha de verificar que P (−t α < g ( X , µ ) < t α ) = 0,95 . Despejando µ de la expresión,
n −1, 2 n −1, 2

resulta que P ( X − t

n −1,

α
2

.

S n−1 n

< µ < X +t

n −1,

α
2

.

S n−1 n

) = 0,95.

Buscando en la tabla de la t de Student para 19 grados de libertad, puesto que n = 20 y 1-α = 0,95, resulta queα=0,05 tenemos que t19 , 0.025 = 2,0930 de donde se deduce que el intervalo de confianza para la media poblacional es

(9,8525 − 2,0930.

0,0965 0,0965 , 9,8525 + 2,0930. ) = (9,807 , 9,897) 20 20

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Estimación por Intervalos de confianza

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El valor correspondiente al radio del intervalo se llama margen de error y su valor es 0,0451. El resultado puedeser expresado del siguiente modo: La media poblacional se estima en 9,8525 con un margen de error de ± 4,5% 3) Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza máxima de los músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de 85 Nw yuna cuasivarianza de 144. Determinar un intervalo de confianza para la media y otro para la varianza de la fuerza máxima de estos músculos. SOLUCIÓN: Para la media, el estadístico pivote es como en el ejercicio anterior g ( X , µ ) =

r

X −µ ∈ t n−1 de S n−1 n

forma que P ( X − t

n −1,

α
2

.

S n−1 n

< µ < X +t

n −1,

α
2

.

S n−1 n

) =0,99

Buscando en latabla de la t de Student para 24 grados de libertad, puesto que n = 25 y 1-α = 0,99, resulta que α=0,01 tenemos que t 24, 0.005 = 2,7970 de donde se deduce que el intervalo de confianza para la media poblacional es

(85 − 2,7970.

12 12 , 85 + 2,7970. ) = (78,287,91,713) 25 25

El valor correspondiente al radio del intervalo se llama margen de error y su valor es 6,7128. El resultado puede...