Estadistica

Cap´
ıtulo 3

Probabilidad Condicional
e Independencia
3.1.

Introducci´n.
o

Consideremos una poblaci´n de 20 estudiantes entre los cuales hay 14 que estudian Medicina y 6 que
o
estudian Ingenier´ De esta poblaci´n se escogen sin reposici´n dos estudiantes al azar y se consideran
ıa.
o
o
los eventos:
E1 : “El primer estudiante seleccionado estudia Medicina”.
E2 : “El segundoestudiante seleccionado estudia Medicina”.
El espacio muestral que consideramos consiste de la colecci´n de todos los pares ordenados
o
(ai , aj );

(ai , bk );

(bk , ai );

(bk , bh )

donde los ai son estudiantes de Medicina y los bj son de Ingenier´ i = j ; k = h; i, j ≤ 14; h, k ≤ 6. El
ıa,
n´mero de eventos elementales es 20 × 19.
u
La siguiente tabla de doble entrada indica eln´mero de puntos muestrales correspondientes a la
u
partici´n de Ω seg´n los eventos E1 , E2 y sus complementos. En la ultima fila aparecen los totales
o
u
´
correspondientes a cada columna y en la ultima columna los correspondientes a cada fila.
´
E2
14×13
6×14

14×6
6×5

14×19
6×19

14×19

E1
c
E1

c
E2

6×19

20×19

Tabla 3.1
Utilizando este cuadro podemos calcularf´cilmente las probabilidades de eventos tales como
a
P (E1 ∩ E2 ) =

14 × 13
;
20 × 19

P (E1 ) =

14 × 19
;
20 × 19

c
P (E1 ∩ E2 ) =

6 × 14
.
20 × 19

Si suponemos que el primer estudiante estudia Medicina, ¿cu´l es la probabilidad de que el segundo
a
tambi´n?
e
En este caso vemos, a partir de la tabla, que hay 14 × 19 resultados posibles, de los cuales 14 × 13 sonfavorables al evento E2 y por lo tanto la probabilidad que deseamos calcular es
(14 × 13)/(20 × 19)
P (E1 ∩ E2 )
14 × 13
=
=
.
14 × 19
(14 × 19)/(20 × 19)
P (E1 )

CAP´
ITULO 3. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

54

La probabilidad que hemos calculado se llama “probabilidad condicional de E2 dado E1 ” y se denota
P (E2 |E1 ).
7
Observamos que P (E2 ) = 14×19 = 10 nocoincide con P (E2 |E1 ) = 13 . Al saber que ocurri´ E1
o
20×19
19
disponemos de cierta informaci´n adicional que modifica nuestro espacio muestral: la nueva poblaci´n,
o
o
para la segunda extracci´n, no coincide con la original, ya que s´lo quedan 13 estudiantes de Medicina
o
o
de un total de 19 estudiantes posibles.
Notemos adem´s que si las extracciones se realizan con reposici´n esto noocurre, ya que el resultado
a
o
de la primera extracci´n no nos da ninguna informaci´n sobre la segunda. En este caso se tiene:
o
o
P (E2 |E1 ) = P (E2 ) =

7
.
10

Definici´n 3.1 Sea (Ω, A, P ) un espacio de probabilidad y sea B ∈ A tal que P (B ) > 0. Definimos una
o
nueva funci´n P (·|B ) de A en R mediante
o
P (A|B ) =

P (A ∩ B )
P (B )

para todo A ∈ A.

Esta funci´n P(·|B ) que hemos definido es una probabilidad; en efecto:
o
1. P (A|B ) ≥ 0 para todo A ∈ A.
2. P (Ω|B ) =

P (Ω∩B )
P (B )

=

P (B )
P (B )

= 1.

3. Sean A1 , A2 , . . . conjuntos disjuntos en A, entonces
∞

P(

∞

Ai |B ) =

i=1

=

P (B ∩ i=1 Ai )
P(
=
P (B )
∞
i=1

P (B ∩ Ai )
=
P (B )

∞
i=1

B ∩ Ai )
P (B )

∞

P (Ai |B ).
i=1

P (·|B ) sellama probabilidad condicional dado B .
Dos propiedades elementales de la probabilidad condicional son las siguientes:
Si A y B son disjuntos, entonces P (A|B ) = 0. En efecto,
A ∩ B = ∅ ⇒ P (A ∩ B ) = 0

y

P (A|B ) =

P (A ∩ B )
= 0.
P (B )

Si B ⊂ A entonces P (A|B ) = 1 ya que en este caso P (A ∩ B ) = P (B ).
Ejemplos
1. Se lanzan dos dados hasta que la suma de los puntos sea 7 u8. Si sale 7 gana el jugador A, si sale
8 gana B . ¿Cu´l es la probabilidad de que gane A?
a
Vamos a resolver este problema de dos maneras. Supongamos primero que al cabo de n lanzamientos
gana A. Esto quiere decir que en los n − 1 primeros lanzamientos no sali´ ni 7 ni 8, y que en el
o
n-´simo se obtuvo 7. Este evento tiene probabilidad
e
pn =

1
6

25
36

n−1

.

´
3.1....