estadisticas

6.4.2 Distribución de Bernoulli
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a losposibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta Xque toma los valores X=0 si el suceso no ocurre, yX=1 en caso contrario, y que se denota 
 

Un ejemplo típico de este tipo de variables aleatorias consiste enlanzar una moneda al aire y considerar la v.a.




Para una v.a. de Bernouilli, tenemos que su función de probabilidad es:




y su función de distribución:




Su función característica es:




Los principales momentos de la X los podemos calcular directamente



o bien usando la función característica y la proposición de la página :






LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de éxito, además representaremos como p = p(A) y q = 1-p=p(A').
A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p lallamamos distribución binomial y la representamos por
B (n, p)
Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los valores:
0, 1, 2, ... , n
y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

(deberás repasar las propiedades de los números combinatorios antes de continuar).
Ejercicio 1:
En la escena siguiente modifica los valores de n y de p para ver cómo se modificanlas probabilidades de los distintos posibles valores de p (X=r)
(si se te superponen los decimales ve modificando el parámetro hasta que los veas con claridad)
La distribución de Poisson
 
Se trata de un modelo discreto, pero en el que el conjunto de valores con probabilidad no nula no es finito, sino numerable. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su funciónde densidad viene dada por:

Como vemos, este modelo se caracteriza por un sólo parámetro λ, que debe ser positivo.
Esta distribución suele utilizarse para contajes del tipo número de individuos por unidad de tiempo, de espacio, etc.
Propiedades del modelo de Poisson
1) Esperanza: E(X) = λ.
2) Varianza: V(X) = λ.
En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.
3) La suma de dosvariables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros:
X1 ~ P(λ = λ1)    y    X2 ~ P(λ = λ2)
y definimos Z = X1 + X2, entonces,
Z ~ P(λ = λ1 + λ2)
Este resultado se extiende inmediatamente al caso de n variables aleatorias independientes con distribución dePoisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.
ariable aleatoria de la distribución normal
 
Una variable aleatoria continua, X, sigue unadistribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

Curva de la distribución normal

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
Es simétrica respecto a la media µ.
Tiene un máximo en la media µ.
Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
El eje de...