Estadística: Variable Aleatoria

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En determinadas ocasiones hay que trabajar en espacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transforman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando VA bidimensionales o n-dimensionales. En muchas ocasiones puede interesar estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio,es decir, estudiar el comportamiento conjunto de dos VA para intentar explicar la posible relación entre ellas. Para poder estudiar conjuntamente las dos v.a., es necesario conocer la distribución de probabilidad conjunta.



1

2

◦ C. Si (X, Y) es una VAB discreta, se le puede asociar una función de probabilidad conjunta p(x, y) = P(X= x ; Y =y), que tiene las siguientes propiedades:

En muchos casos interesa observar dos o más características en forma simultánea como por ejemplo, ingresos y gastos familiares; la cantidad demandada y el precio de un bien; las ventas y gastos de un bien etc.
◦ A. Considere un espacio muestral  de algún experimento. Sean X = X(w) e Y = Y(w) dos funciones que asocien a cada resultado w  un número real. (X,Y) es llamada Vector Aleatorio ovariable aleatoria bidimensional. ◦ B. (X ,Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los posibles valores de (X ,Y) son finitos o infinitos numerables, y se representan como (Xi ; Yj); i: l, n ; j: l, m . En cambio (X ,Y) será continua si puede considera todos los valores en un conjunto no numerable del plano euclidiano.
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i) p( x, y)  0; ( X ;Y )  RXY

ii)


Rx Ry

p( x,y )  1

Si (X,Y) es una VAB continua, entonces existe una f.d.p. conjunta f(x,.y) , tal que: iii)f ( x, y)  0, ( x, y) 
 

RXY

iv)

 



f ( x, y )dx  dy  1

◦ Observación: Si A es un subconjunto de

P( A) 

( x, y) A


A

 R XY

, entonces:

p( x, y) ;

(X,Y) VAB discreta



P( A) 



f ( x, y)  dx  dy

; (X,Y) VAB continua
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◦ D. Considere H(x,y) una función en la VAB (X,Y), entonces
 A) EH ( X ,Y )   B)
E H ( X , Y ) 



 



Si (X,Y ) es continua con f.d.p. conjunta f(x,y) entonces podemos determinar las funciones densidades marginales fx (x) y fy(y) de la forma.
 f X ( x) 

H ( x, y) p( x, y)

, (X,Y) VAB Discreta , (X,Y) VAB Continua

 



H ( x, y ) f ( x, y )dx dy





 f ( x, y )dy; X  R X ; f y ( y) 





f ( x, y )dx;

Y  RY

◦ E. A partir de la función de probabilidad conjunta p(x,y) podemos determinar las funciones de probabilidad marginales Px (X) y Py (Y) respectivamente.

◦ Ejemplo. La siguiente tabla proporciona la distribución de probabilidades conjunta de X: número de asignaturas inscritas al comienzo del semestrepor un alumno de Ingeniería, Y: números de asignaturas eximidas:
X/ Y 4 5 6 0 0.06 0.06 0.18 1 0.06 0.18 0.06 2 0.18 0.18 0.04

P( X  x)  p X ( x) 

yRy

 p( x, y) ;

X  RX

P(Y  y)  pY ( y) 

xRx

 p( x, y) ;

Y  RY

• a) Determine el número promedio de asignaturas eximidas. • b) Calcule la probabilidad que se exima en al menos una asignatura. • c) Determine elnúmero promedio de asignaturas inscritas.

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◦ Ejemplo. Una tienda comercial tiene dos vendedores A y B . Sea X el número de celulares vendidos por A e Y el número de celulares vendidos por B. Suponga que por experiencias pasadas se sabe que la distribución de probabilidad conjunta P(X,Y), esta dada por la siguiente tabla:

◦ F. Sea (X,Y) una variable aleatoria continua. Diremos que(X,Y) tiene distribución Uniforme en cierta región R de IR² si su f. d. p. conjunta es:

X/ Y

0
1/8

1
1/8

2
1/4

k , x, y   R f  x, y    0 en otro caso

0 1 2

1/16 1/16 1/8 1/8 1/16 1/16

◦ Debido a la condición de densidad de f (x,y) se cumple

◦


R

f ( x, y )dx  dy  k


R

dx  dy  1

◦ A) Indique la distribución de probabilidad marginal X...