Estatica

ESTATICA
PROBLEMAS RESUELTOS
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Fig. 1.5

PROBLEMA 1.3 Para la estructura mostrada en la figura 1.6, se pide: a) Descomponer la fuerza de 360 lb en componentes a lo largo de los cables AB y AC. Considerar

  55o y   30 o .
b) Si los cables de soporte AB y AC están orientados de manera que las componentes de la fuerza de 360 lb a lolargo de AB y AC son de 185 lb y 200 lb, respectivamente. Determinar los ángulos

 y .
5

Fig. 1.6 Solución: a) Como la estructura debe de encontrarse en equilibrio, por lo tanto, aplicamos el triángulo de fuerzas, mostrado en la figura 1.7

Fig. 1.7 Aplicamos la ley de senos y obtenemos los valores de las fuerzas en los cables AB y AC

PAB 360  0 sen30 sen95 0

 

PAB  180,69lbPAC  296,02lb

PAC 360  0 sen55 sen95 0
determinar los ángulos

b) Analizamos el triángulo de fuerzas, mostrado en la figura 1.8 y aplicamos la ley de senos para

y

Fig. 1.8 6

185 200  sen sen
360 200  o sen 180     sen



sen  1,08sen

(a)







cos   1,08 cos   1,944

(b)

Aplicamos en la ecuación (a) el principio que reemplazandoluego

sen  1  cos 2  y sen  1  cos 2  ,

cos  de la ecuación (b) en la ecuación (a), obteniendo:

  21,6 o   19,9 o
PROBLEMA 1.4 La longitud del vector posición r es de 2,40m (figura 1.9). Determine: a) La representación rectangular del vector posición r b) Los ángulos entre r y cada uno de los ejes coordenados positivos Solución: a) Descomponemos r en dos componentes como semuestra en la figura 1.10. Por trigonometría obtenemos:

rz  r cos 40 o  2,4 cos 40 o  1,84m

rxy  rsen 40 o  2,4sen 40 o  1,54m
En forma análoga, descomponemos

rxy en rx y ry :

rx  rxy cos 50 o  0,99m

ry  rxysen50 o  1,18m
Por lo tanto, la representación rectangular de r es:

r  rx i  ry j  rz k  0,99i  1,18 j  1,84k

Fig. 1.9 7

Fig. 1.10 b) Los ángulos entre ry los ejes coordenados, los calculamos por las siguientes ecuaciones:

 0,99  r   x  arccos  x   arccos    65,6 o  r   2,4 

 ry  y  arccos  r 

  1,18    arccos    60,5 o  2,4   

 1,84  r   z  arccos  z   arccos    40,0 o r  2,4 
Dichos ángulos se muestran en la figura 1.11 y como se puede apreciar, no fue necesario calcular

 z ,porque ya estaba dado en la figura 1.9

Fig. 1.11

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PROBLEMA 1.5 Encuentre la representación rectangular de la fuerza F cuya magnitud es de 240N

Fig. 1.12 Solución: Como se conocen las coordenadas de los puntos O y A sobre la línea de acción de F, entonces escribimos el vector OA (vector de O hasta A) en forma rectangular (figura 1.13), expresado en metros:

OA  4i  5 j  3k
Luego,el vector unitario de O hasta A será:



OA  4i  5 j  3k   0,566i  0,707 j  0,424k OA (4) 2  5 2  32

Fig. 1.13 Asimismo, se tendrá:

F  240(0,566i  0,707 j  0,424k)  135,84i  169,68 j  101,76k
Las componentes rectangulares de F se muestran en la figura 1.14

Fig. 1.14 9

PROBLEMA 1.6 Dado los vectores:

A  6i  4 j  k (N)

B  j  3k (m)
C  2i  j  4k(m)
Determinar: a)

A.B

b) La componente ortogonal de B en la dirección de C c) El ángulo entre A y C d)

AxB
AxB.C

e) Un vector unitario  perpendicular a A y B f)

Solución: a) Aplicamos la siguiente ecuación, obteniendo:

A.B  A x B x  A y B y  A z Bz  6(0)  4(1)  (1)(3)  1N.m
El signo positivo, indica que el ángulo entre A y B es menor que b) Si

90 o

 es elángulo entre B y C, se obtiene de la ecuación:    C 2i  j  4k 1(1)  3(4) B cos   B. C  B.  ( j  3k ).   2,40m 2 2 2 C 21 2  (1)  4

c) Si

 es el ángulo entre A y C, se encuentra de la siguiente ecuación:   A C 6i  4 j  k 2i  j  4k 6(2)  4(1)  (1)(4) cos    A . C  .  .  2 2 2 2 2 2 A C 53 21 6  4  (1) 2  (1)  4
cos   0,1199



  83,1o

d) El...