estatica

A. Alejo Molina

4/06/2012

4.7 Cálculo de Integrales de Funciones Expresadas como Serie de Taylor
Una de las aplicaciones de la serie de Taylor es hallar un valor aproximado de una
integraldefinida. En muchos problemas que se presentar de situaciones físicas, las
integrales resultantes no pueden ser resueltas en términos de funciones elementales. Una
forma útil de aplicar la serie deTaylor cuando la integral indefinida no puede ser hallada es
expandir el integrando en una serie de potencias y luego integrar dicha serie término a
término.
Ejemplo 4.7.1. La integral de sen  x 2 y/o de cos  x 2  suele ser muy común en problemas
de difracción en Óptica de Fourier, este tipo de integrales reciben el nombre de integrales
de Fresnel. Halle un valor aproximado de la integralde la función seno dada anteriormente
en el intervalo [0, 1], calculando los tres primeros términos de la serie de Taylor alrededor
del punto x = 0.
Solución. En realidad la serie que pidencalcular es la de Maclaurin puesto que el centro
está en x = 0. La integral pedida es:
1

x 6 x10
1 11 1 1
2
2
x
dx

x



sen
...



0
0  3! 5!  dx  3  7 3!  11 5!  ...1

si hacemos el cálculo numérico

 sen  x  dx 0.3333  0.02381  0.00076  ...  0.31028
1

2

0

Ejemplo 4.7.2. Encuentre la integral de la serie de Mclaurin asociada a la funciónexponencial de x.
Solución. Al final del Ejemplo 4.6.1 se dio la serie de Mclaurin de la función exponencial,
ésta es

xn
f  x  ex  
n 1 n !
entonces, calculando la integral



xnx x2 x3
x 1 x2 1 x3 1 x4
x







e
dx
dx
1
...
dx


  1 2! 3!  1  2 1  3 2!  4 3!  ...  c
n 1 n !
ahora podemos sumar y restar uno a esta serie, ademássimplificando los productos de las
fracciones con los factoriales se tiene que
x x2 x3 x4
x
1
e
dx


    ...  c  1

1! 2! 3! 4!
x x2 x3 x4
=1      ...  c1  e x  c1
1! 2!...