Estimación por máxima verosimilitud

MÉTODO DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
ESTADO DEL ARTE
El método de máxima verosimilitud es uno de los métodos preferidos a la hora de estimar parámetros. Ha sido utilizado por matemáticos que sedesarrollaron en el área de la estadística como Gauss y Laplace, lo que nos permite decir que es un método creado algunos siglos atrás aunque este fue recomendado, analizado y popularizado por Fisher entre1912 y 1922.
Fisher intuitivamente pretendió obtener el estimativo de un parámetro seleccionado que maximizara la probabilidad de observar los datos que realmente fueron observados.
Desde aquellaépoca ha tenido una gran acogida, sobretodo en el área de modelación matemática.
MARCO TEÓRICO
El estimador de máxima verosimilitud es el estimador más eficiente entre los estimadores consistentesasintóticamente normales. Se usa cuando conocemos la forma de la distribución de alguna población pero no se conocen sus parámetros y quieren ser conocidos.
Principio de verosimilitud
El principio deverosimilitud consiste en escoger como un estimador del parámetro al vector θ0 tal que el valor de θ maximice la verosimilitud de la muestra observada.
Para el caso discreto, la verosimilitud es laprobabilidad obtenida desde la función de masa de probabilidad. En el caso continuo, desde la función de densidad de probabilidad.
Si se tiene la función de de θ dadas y y x
fy, x θ)
la función deverosimilitud es
LNθ= Ln L θ y,x)
ya que maximizar esta función es igual a maximizar el logaritmo natural de la función de máxima verosimilitud.
Verosimilitud condicionada
La función deverosimilitud
Lnθ= fy,x θ)=fy x,θ) fx θ)
requiere una especificación de la densidad condicional de y dado x y la densidad marginal de x.
Usualmente, la estimación es basada en la función de máximaverosimilitud condicionada donde no hay restricciones si f(y | x) y f(x) dependen del mismo conjunto de parámetros.
Dadas las observaciones (yi, xi) independientes, la función de densidad condicional...