maxima verosimilitud

Ejercicio de estimaci´n de m´xima verosimilitud
o
a

El tiempo de realizaci´n en minutos de una determinada tarea dentro de un
o
proceso industrial es una variable aleatoria con funci´n de densidad
o
f (x) =

x −x/θ
e
θ2

si x > 0

donde θ > 0.
a) Calcular el estimador m´ximo-veros´
a
ımil de θ para una muestra aleatoria
simple de tama˜ o n.
n
1. Escribir la verosimilitud:L(θ)

ind.

n

L(x1 , . . . , xn ; θ) =

=

i.d.

n
i=1

1
θ2

ea ·eb =ea+b

=

xi −xi /θ
1
e
= 2
2
θ
θ
n

exp −

fX (xi )
i=1
n

i=1

=

n

fXi (xi ) =

1 n
xi
θ i=1

n n

e−xi /θ
i=1
n

xi
i=1

xi ;

x1 , . . . , x n > 0

i=1

2. Escribir el logaritmo de la verosimilitud:
(θ)

ln L(θ) = ln

=
ln(a·b)=ln a+ln b

=

ln

1θ2

n

ln (θ−2n ) −

=

−2n ln θ −

=
3. Obtener el θ tal que

∂
∂θj

1
θ2

n

1 n
xi
exp −
θ i=1

1 n
xi
+ ln exp −
θ i=1
1 n
xi + ln
θ i=1
1 n
xi + ln
θ i=1

Estad´
ıstica I 08/09

n

xi

+ ln
i=1

xi
i=1
n

xi ;

x1 , . . . , x n > 0

i=1

(θ) = 0.

∂
∂
(−2n ln θ) −
∂θ
∂θ

n
−2n
xi
− − i=1
2
θ
θ
n
−2n
xi
=
+ i=1
θ
θ2=

xi
i=1

n

∂
∂
1 n
(θ) =
−2n ln θ −
xi + ln
∂θ
∂θ
θ i=1
=

n

n

xi
i=1

1 n
∂
xi +
ln
θ i=1
∂θ

n

xi
i=1

+0

A. Arribas Gil

Por lo tanto:
n
n
xi
−2n
xi
∂
2n
(θ) = 0 ⇔
+ i=1 = 0 ⇔ i=1 =
∂θ
θ
θ2
θ2
θ
n
n
xi
×θ
i=1 xi
= 2n ⇔ θ = i=1
⇔
θ
2n
n
i=1

ˆ
El candidato a EMV es θM V =

xi

.
2n
4. Comprobar que realmentees un m´ximo, es decir, que
a
∂2
∂
(θ) =
2
∂θ
∂θ

= (−2n)
=

n
i=1
θ2

−2n
+
θ

∂
(θ)|θ=θM V
ˆ
∂θ2

=
=

2
ˆ2
θM V

2n
2
− 3
θ2
θ

2
ˆ2
θM V

n−

(θ)|θ=θM V < 0.
ˆ

xi

n
−2
−1
+
xi 3
θ2
θ
i=1
n

xi =
i=1

ˆ
Si ahora lo evaluamos en el candidato θM V =
2

∂2
∂θ2

1
ˆM V
θ

2
1 n
xi
n−
θ2
θ i=1
n
i=1

2n

, tenemos:

n

xi =
i=1

(n − 2n) =

xi

2
ˆ2
θM V

2 
n−
ˆ2
θM V

n

1
n
i=1

xi

2n



xi 
i=1

(−n) < 0

ˆ
obtenemos que la segunda derivada de (θ) es negativa en θM V y por tanto es un
m´ximo.
a
X
ˆ
El estimador m´ximo ver´simil de θ es θM V = . Para una muestra particular, la
a
o
2
ˆM V = x .
estimaci´n m´ximo veros´
o
a
ımil ser´ θ
a
2
b)Calcular el estimador m´ximo-veros´
a
ımil de E[X] para una muestra aleatoria
simple de tama˜ o n.
n
Lo primero es calcular E[X]. Como X es una v.a. continua, sabemos que E[X] =
∞
o
−∞ x f (x)dx. Pero como X s´lo toma valores positivos:
∞

E[X] =

∞

x f (x) dx =
0

Estad´
ıstica I 08/09

x
0

x −x/θ
e
dx =
θ2

∞
0

x2 −x/θ
1
e
dx = −
2
θ
θ

∞
0

x2

−1−x/θ
e
dx
θ

A. Arribas Gil

integr. por
partes1
∞
∞
1

du = 2x dx  = −
e−x/θ 2x dx
x2 e−x/θ −
 u = x2

0
θ
0
dv = −1 e−x/θ dx v = e−x/θ
θ
1 ∞
1 2 −x/θ ∞ 1 ∞
1
− x e
+
2x e−x/θ dx = −
lim x2 e−x/θ − lim x2 e−x/θ +
2x e−x/θ dx
0
x→0
θ
θ 0
θ x→∞
θ 0


integr. por
partes1
∞
∞
−1 −x/θ
1
1

du = dx 
− (0 − 0) +
2x e−x/θ dx = −2
x
e
dx =  u = x
θ
θ 0
θ
0
−1 −x/θ
−x/θ
dv = θ e
dx v = e


=
=
=2
=
=

−2
−2θ



x e−x/θ

∞
0

∞

−

e−x/θ dx = 2 − 2 0 − −θe−x/θ

0

∞
0

lim e−x/θ − lim e−x/θ = −2θ(0 − 1) = 2θ

x→∞

x→0

ˆ
Tenemos que E[X] = 2θ. Por el principio de invarianza del EMV, sabemos que si θM V
es el estimador m´ximo veros´
a
ımil de θ, el estimador m´ximo veros´
a
ımil de cualquierˆ
funci´n h(θ) es h(θM V ).
o
Por tanto, el EMV de E[X] ser´:
a
X
ˆ
= X.
E[X]M V = 2 θM V = 2
2
c) Mediante un muestreo aleatorio simple se han recogido los siguientes 15
tiempos de realizaci´n de la tarea:
o
5.56 2.23 0.58 1.37 0.21 1.98 2.44 2.71
10.12 4.69 3.47 1.73 3.51 1.19 0.97
Obtener la estimaci´n m´ximo-veros´
o
a
ımil del tiempo medio de realizaci´n
o
del...