Estimacion puntual
Páginas: 5 (1033 palabras)
Publicado: 14 de junio de 2014
instituto tecnológico de celaya
Métodos de estimación puntual
Probabilidad y estadística
Método de los momentos
Se trata de un método de obtención de estimadores muy intuitivo. Básicamente, consiste en igualar los momentos poblacionales (que sean función del o los parámetros a estimar) con los momentos muestrales y despejar el parámetro a estimar.
Así, por ejemplo, la esperanza deuna variable aleatoria se estimaría por la media muestral; la varianza, por la varianza muestral; etc.
La principal ventaja de este método es su simplicidad. Sin embargo, aunque los estimadores así obtenidos son consistentes, en general, no son centrados ni eficientes. Además, en ciertos casos puede proporcionar estimaciones absurdas, como veremos en el siguiente ejemplo:
Supongamos quetenemos una variable con distribución uniforme donde el límite inferior es cero y el superior es desconocido. Naturalmente, estaremos interesados en estimar el límite superior (al que llamaremos b) de nuestra distribución uniforme.
X sigue una distribución uniforme (a = 0, b = ?)
Recordemos que la esperanza de una distribución uniforme comprendida entre dos valores a y b es el promedio de estosdos valores.
Por tanto, para aplicar el método de los momentos para estimar b, igualaremos dicho promedio a la media aritmética:
Método de mínimos cuadrados
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, seintenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos.Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.
Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícitopara que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitanvisibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.
Método de máxima verosimilitud
El método demáxima verosimilitud (MLE) es uno de los más robustos y poderosos de los métodos modernos para obtener una aproximación de la confiabilidad.
La evaluación por el método de máxima verosimilitud procura encontrar los valores más probables de los parámetros de la distribución para un conjunto de datos. Maximizando el valor de lo que se conoce como la “función de verosimilitud” La función deverosimilitud se basa en la función de la densidad de la probabilidad fdp para una distribución dada. Como ejemplo considere una fdp genérica:
Donde x representa los datos (tiempo a la falla), y θ1, θ2, ...,θk son los parámetros que se estimarán y k el número de parámetros a evaluar. Por ejemplo para una distribución de Weibull de dos parámetros, β beta y θ theta son los parámetros que se deben...
Métodos de estimación puntual
Probabilidad y estadística
Método de los momentos
Se trata de un método de obtención de estimadores muy intuitivo. Básicamente, consiste en igualar los momentos poblacionales (que sean función del o los parámetros a estimar) con los momentos muestrales y despejar el parámetro a estimar.
Así, por ejemplo, la esperanza deuna variable aleatoria se estimaría por la media muestral; la varianza, por la varianza muestral; etc.
La principal ventaja de este método es su simplicidad. Sin embargo, aunque los estimadores así obtenidos son consistentes, en general, no son centrados ni eficientes. Además, en ciertos casos puede proporcionar estimaciones absurdas, como veremos en el siguiente ejemplo:
Supongamos quetenemos una variable con distribución uniforme donde el límite inferior es cero y el superior es desconocido. Naturalmente, estaremos interesados en estimar el límite superior (al que llamaremos b) de nuestra distribución uniforme.
X sigue una distribución uniforme (a = 0, b = ?)
Recordemos que la esperanza de una distribución uniforme comprendida entre dos valores a y b es el promedio de estosdos valores.
Por tanto, para aplicar el método de los momentos para estimar b, igualaremos dicho promedio a la media aritmética:
Método de mínimos cuadrados
Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, seintenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.
En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos.Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.
Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícitopara que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitanvisibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).
La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.
Método de máxima verosimilitud
El método demáxima verosimilitud (MLE) es uno de los más robustos y poderosos de los métodos modernos para obtener una aproximación de la confiabilidad.
La evaluación por el método de máxima verosimilitud procura encontrar los valores más probables de los parámetros de la distribución para un conjunto de datos. Maximizando el valor de lo que se conoce como la “función de verosimilitud” La función deverosimilitud se basa en la función de la densidad de la probabilidad fdp para una distribución dada. Como ejemplo considere una fdp genérica:
Donde x representa los datos (tiempo a la falla), y θ1, θ2, ...,θk son los parámetros que se estimarán y k el número de parámetros a evaluar. Por ejemplo para una distribución de Weibull de dos parámetros, β beta y θ theta son los parámetros que se deben...
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