Estimación Estadística

Teoría de Estimación

Estimación de Parámetros

La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista practico, suele ser mas importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferenciaestadística que utiliza principios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros ( como la media y la varianza poblacionales ), a partir de los estadísticos muestrales correspondientes o estadísticos ( como la media y la varianza muestral.

Estimados sin Sesgo

Si la media de la distribuciónmuestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadístico se denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.

1.- La media de la distribución muestral de las medias  es x , la media poblacional. Por lo tanto, lamedia muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional .

2.- La media de la distribución muestral de las varianzas es :

s2 = ( N-1/ N ) 2

donde 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra .Entonces, la varianza muestral s2 es un estimado sesgado de la varianza poblacional 2. Usando la varianza modificada.

Ŝ2 =( N/ N-1 )s2

Se encuentra que ŝ2 =2 , de modo que Ŝ2 es un estimado sin sesgo de 2 .Sin embargo ŝ es un estimado de .En términos de esperanza matemática se podía decir que un estadístico no esta sesgado si su esperanza es igual al parámetro poblacional correspondiente. Por lo tanto, x y Ŝ2 no están sesgados , porque E

Estimados por Punto y Estimados por Intervalo; su Confiabilidad

El estimado de un parámetropoblacional dado por un solo numero se denomina estimado puntual del parámetro. El estimado de un parámetro poblacional dado por dos números , entre los cuales se considera esta el parámetro, se denomina estimado por intervalo del parámetro. Los estimados por intervalo indican la precisión de un estimado y son, por lo tanto preferibles a los estimados por punto.

La información sobre el error oprecisión de un estimado se conoce como confiabilidad.

Estimados por Intervalo de Confianza de Parámetros Poblacionales

Sean s y s la media y la desviación estándar ( error estándar ), en ese orden, de la distribución muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es en formas aproximadas a la normal ( lo cual es verdadero para muchos estadísticos si el tamaño dela muestra es N mayor o menor que 30.

Intervalos de Confianza para Medias

Si el estadístico S es la media muestral x , entonces los limites de confianza de 95% y 99% para estimar la media poblacional  están dados por x mas menos 1.96 x y 2.50x respectivamente. De manera mas general , los limites de confianza están dados por x ± zc x donde zc que depende del nivel particularde confianza deseado , usando los valores de x obtenidos se ve que los limites de confianza para la media poblacional están dados por :

X ± Zc /

si el muestreo se realizo sin reemplazamiento de una población de tamaño finito Np . generalmente , la desviación estándar poblacional  es desconocida ; por consiguiente , para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza laestimación muestral ŝ o s .Esta mostrara ser satisfactoria cuando N¬ se mayor o menor que 30 para N menor que 30 , la aproximación es pobre y se debe usar la teoría de pequeñas muestras .

Intervalos de Confianza para Proporciones

Si el estadístico S es la proporción de “éxitos “ en una muestra de tamaño , obtenida de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos es decir la...