Estimación puntual

Estimación puntual


Una estimación puntual del valor de un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media µ , o la desviación estándar σ ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos una muestra de la población y calcularemos el parámetro muestral asociado ( x para la media, s parala desviación estándar, etc.). El valor de este parámetro muestral será la estimación puntual del parámetro poblacional.

• Insesgado: Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador x , ya que µx = µ y con estimador p´ ya que p µp′ =

• De varianza mínima: La variabilidad de unestimador viene determinada por el cuadrado de su desviación estándar. En el caso del estimador x , su desviación estándar es
n x σ = σ , también llamada error estándar de µ .

En el caso del error estándar de p´,
n
p p p
´*(1− ´) σ ′ =

Observar que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n , menor será la variabilidad del estimador x y de p´, por tanto, mejor serán nuestrasestimaciones.
Estimación por intervalo


Dada una población X, que sigue una distribución cualquiera con media µ y desviación estándar σ .

1. Sabemos (por el TCL) que, para valores grandes de n , la media muestral x sigue una distribución aproximadamente normal con media µx = µ y desviación estándar
n x σ = σ .

2. Por otra parte, el Teorema de Chebyshev nos dice que, en unadistribución normal,
aproximadamente un 95% de los datos estaban situados a una distancia inferior a
dos desviaciones estándar de la media.

De lo anterior se deduce que: ( −2 < < + 2 ) = 0,95 x x P µ σ x µ σ ,

0,95 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x x x x = P x < µ + σ − P x < µ − σ = P µ > x − σ − P µ > x + σ

( −2 < < + 2 ) = 0,95 x x P x σ µ x σ

Por tanto, ésta última fórmula nos da unintervalo de valores tal que la probabilidad de que la media de la población µ esté contenida en él es de 0,95.

Este tipo de intervalos se llaman intervalos de confianza de un parámetro poblacional. El nivel de confianza (1 - α) del intervalo es la probabilidad de que éste contenga al parámetro poblacional. En el ejemplo anterior, el nivel de confianza era del 95% (α = 0,05).

1. Intervalo deconfianza para µ con σ conocida.

Un vendedor mayorista de partes automotrices necesita una estimación de la vida media que puede esperar de los limpiaparabrisas en condiciones normales de manejo. La administración de la empresa ya ha determinado que la desviación estándar de la vida útil de la población es de seis meses. Supongamos que se selecciona una sola muestra aleatoria de 100limpiaparabrisas, y obtenemos que la vida media de estos 100 limpiaparabrisas es de 21 meses. Se pide calcular un intervalo de confianza del 95% para la vida media de la población de los limpiaparabrisas.

Tenemos X como la distribución de la vida útil en meses de la población de limpiaparabrisas, no sabemos qué distribución tiene, al igual que desconocemos su media. En este caso sí conocemos ladesviación estándar poblacional.
X ≈ (µ,σ = 6)
La media muestral X por el teorema central del límite se va a aproximar la distribución normal:
X N( , / n) ≈ µx = µ σ x =σ

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% para la vida media en meses de toda la población de limpiaparabrisas, es decir para µ
± ∗ = ± ∗ = 21±1,176 = 100
6 21 1,96 2 0,05
n
X Z σ
[19,824 ; 22,176]

0,025 1,962 0,05 2
Zα = Z = Z = , es decir que el valor Z de la tabla de la normal estándar que deja un área de 0,9 entre –Z Y +Z es Z=1,96. O de otro modo, como el nivel de confianza es 0,9, α = 0,05, entonces el valor Z que deja su derecha un área de
0,025 2
0,05
2
α = = y a la izquierda de –Z un área de 0,025 2
0,05
2
α = = es Z=1,96

El error máximo de estimación es la mitad de la...