Estimadores lineales insesgados

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CONCEPTO DE MEJORES ESTIMADORES LINEALES E INSESGADOS

Realizando un análisis del teorema de Gauss-Markov en el cual ejemplifica el uso del método de los MCO en lugar de otros estimadores rivales.Ya se conoce una justificación de los MCO: de acuerdo con las suposiciones RLM.1 y RLM.4, los MCO son insesgados. Sin embargo, de acuerdo a esas suposiciones hay muchos estimadores insesgados de [pic]Si limitamos en forma conveniente la clase de estimadores rivales, podemos demostrar que los MCO son los mejores. En concreto, argumentaremos que, bajo las suposiciones RLM.1 a RLM.5, el estimadorMCO [pic] para [pic] es el mejor estimador lineal insesgado (MELI). Para enunciar el teorema, necesitamos comprender cada elemento de las siglas “MELI”. Primero, sabemos lo que es un estimador: unaregla que puede aplicarse a cualquier muestra de datos para generar una estimación. También sabemos lo que es un estimador insesgado: en el contexto actual, un estimador, digamos [pic] de [pic], esinsesgado para [pic] si E([pic]) = [pic] para cualquier [pic].
En el contexto actual, un estimador [pic] de [pic] es lineal si y solo si, se puede expresar como función lineal de los datos de lavariable dependiente:
[pic]
En donde [pic] puede ser una función de los valores muéstrales de todas las variables independientes. Los estimadores de MCO son lineales.
Por ultimo. En este teorema, “mejor”se define como mínima varianza. Dados dos estimadores insesgados, es lógico preferir al que tiene la varianza más pequeña.

Ahora sean [pic]los estimadores de MCO del modelo bajo las suposicionesRLM.1 a RLM.5. El teorema de Gauss-Markov afirma que, para cualquier estimador [pic] lineal e insesgado, Var([pic]) [pic] Var([pic]), y la desigualdad es por lo común estricta. En otras palabras, enla clase de los estimadores lineales insesgados, los de MCO tienen la mínima varianza (de acuerdo con las cinco suposiciones de Gauss-Markov). En realidad, el teorema afirma más que esto. Si queremos...
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