Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas: Una estructura algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío, con por lo menos una operación binaria.
Operación Binaria: Se conoce una operaciónbinaria aquella que al operar dos números (de ahí su nombre) se obtiene un tercero.
Ejemplo: El símbolo “+” representa la operación binaria de suma; ahora para la operación binaria específica de 3 + 5 =8.
Propiedades de las operaciones binarias
1.Cerrada:Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b ∈ S
Ejemplos:En el conjunto de los números enteros Z; la suma (*) es una operación interna ya que todo par ordenado (a,b)se le puede asignar otro valor, el cual también pertenece a los números enteros Z.
2.Conmutativa:Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ b = b ∗ a
Ejemplo:Si se considera el par ordenado (3,2)
Debe cumplirse que: 32+22 = 22 + 32=9 + 4 = 4 + 9 =13 = 13 CUMPLE
3.Asociativa:Si ∀ a, b ∈ S ⇒ a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
Ejemplo: Identificar si para el conjunto de los enteros, la operación binaria de suma definida comoa+b es asociativa.
Solución:Debe cumplirse que: a +( b + c ) = (a + b) + c
1 +( 2 + 3) = (1 + 2 ) +3
1+(5)=(3)+3
6=6 CUMPLE
4.Elemento neutro: Si e ∈, ∀ a ∈ S ⇒ a ∗ e = a y e ∗ a = a
Elelemento e es un “elemento neutro” puesto que si es aplicado a la izquierda o aplicado a la derecha del otro operando, no se altera el valor de a.
Ejemplos: Elemento neutro de la suma El 0 es el elementoneutro de la suma ya que todo número sumado con él da el mismo número. Veamos: a + 0 = a
5 + 0 = 5. Podemos llamar a este caso, identidad aditiva.
b.Elemento neutro de la multiplicación El 1 es elelemento neutro de la multiplicación, ya que todo número multiplicado por él da el mismo
número.a x 1 = a .5 x 1 = 5. Esta sería la identidad multiplicativa
5.Elemento opuesto (simétrico): ∀ a ∈ S, ∃(–a) ∈ S ⎮ a ∗ (–a) = e y (−a) ∗ a = e
Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano y apliquemos la función multiplicación. No tiene elemento simétrico porque el...