ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS



UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE INGENIERIA

ALGEBRA


“ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS”












ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
OPERACIONES BINARIAS
Una operación binaria es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto un único elemento de dicho conjunto, para definir una operación binaria en un conjunto S bastara con especificar una regla que asigne a cada parordenado de elementos de S un único elemento de S
Ejemplo:
“Al primer elemento agregarle el doble del segundo”
Para representar la operación se puede utilizar cualquier símbolo
m & n = m + 2n; para toda m, n que pertenece a los Naturales
Si se aplica dicha operación al par ordenado (1,3) obtenemos que: 1 & 3 = 7
Pero si lo aplicamos al par ordenado (3,1) obtenemos: 3 & 1= 5
Se debe resaltar que una operación binaria & definida en un conjunto S asigna siempre como resultado un elemento de S, esto quiere decir que el conjunto S es cerrado respecto a la operación &

Propiedades de las operaciones binarias
1. Cerradura
Sea $ una operación binaria definida en un conjunto S, y sea T un subconjunto de S. Se dice que T es cerrado respecto a la operación $ si: para todaa, b que pertenecen a T, el resultado de a $ b pertenece a T
2. Elemento idéntico
Sea & una operación binaria definida en un conjunto S:
-Un elemento e que pertenece a S es un idéntico izquierdo para $ si: e $ a = a
-Un elemento e que pertenece a S es un idéntico derecho para $ si: a $ e = a
-Un elemento e que pertenece a S es un idéntico para $ si es idéntico izquierdo e idéntico derechoLa operación & no tiene elemento idéntico izquierdo ni derecho dado que:
e & a = a a & e = a
e + 2a = a a + 2e = a
e = -a e = 0
e debe pertenecer a los naturales y ni los números negativos ni el cero pertenecen a los naturales, sin embargo si la operación & se define en el conjunto de los enteros entonces los elementosidénticos antes mencionados podrían ser validos dado que los negativos y el cero si pertenecen a los enteros, pero debido a que el idéntico izquierdo depende del valor del numero “a” este no es general y cada valor de “a” tendría su propio idéntico izquierdo lo cual no es válido, el elemento idéntico derecho si es válido puesto que funciona con cualquier valor de “a”
3. Elemento inverso
Sea $ unaoperación binaria definida en un conjunto S, y:
-Sea e un idéntico izquierdo para $. Un elemento ă que pertenece a S es un inverso izquierdo del elemento a que pertenece a S para $ si: ă $ a = e
-Sea e un idéntico derecho para $. Un elemento ă que pertenece a S es un inverso derecho del elemento a que pertenece a S para $ si: a $ ă = e
-Sea e un idéntico para $. Un elemento ă quepertenece a S es un inverso del elemento a que pertenece a S para $ si: ă $ a = e y ă $ a = e
La operación & definida en los enteros no tiene elemento idéntico izquierdo por lo cual no puede tener elemento inverso izquierdo, en cuanto el elemento inverso derecho sería el siguiente:
a & ă = e → a + 2ă = 0 → a = -2ă → -a / 2 = ă
Sustituyendo
a & -a/2 = 0→ a + 2(-a/2) = 0 → a + (-a) = 0
Entonces el elemento inverso derecho del numero “a” en la operación & es “-a” lo que se conoce como su simétrico
4. Asociatividad
Sea $ una operación binaria definida en un conjunto S. Se dice que $ es asociativa si:
Para toda a, b, c que pertenecen a S a $ (b $ c) = (a $ b) $ c
En nuestra operación & esta propiedad quedaría así:
a &(b & c) = (a & b) & c → a + 2(b + 2c) = (a + 2b) + 2c → a + 2b + 4c = a + 2b + 2c
Esto indica que el único valor que podría tomar c para que la igualdad sea cierta es 0, sin embargo para que una operación pueda ser asociativa esta igualdad debe de ser verdadera para cualquier valor que pudieran tomar a, b, c, por lo cual la operación & no es asociativa
5. Conmutatividad
Sea $ una...