Estructuras discretas: deducción e inducción
Páginas: 8 (1805 palabras)
Publicado: 11 de noviembre de 2010
ESTRUCTURAS DISCRETAS
DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN
Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale paracualquier x.
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.
El esquema del razonamiento es el siguiente:
Llamemos Pn la proposición al rango n.
Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción).
Sedemuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción). En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.
Elprincipio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.
Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenidodel presente trabajo de investigación.
Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.
De la certeza de una proposición generalse puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización.
El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de unaproposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.
Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos
exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”.
El proceso por elcual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que entendemos por deducción o proceso deductivo.
Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción oproceso inductivo.
LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS
En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud
“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de clases tales que
contener un elemento implica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, comono vacía.
Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones...
DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN
Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale paracualquier x.
La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.
El esquema del razonamiento es el siguiente:
Llamemos Pn la proposición al rango n.
Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción).
Sedemuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción). En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.
La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.
Elprincipio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.
Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.
Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenidodel presente trabajo de investigación.
Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.
De la certeza de una proposición generalse puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización.
El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de unaproposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.
Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos
exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”.
El proceso por elcual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que entendemos por deducción o proceso deductivo.
Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción oproceso inductivo.
LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS
En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud
“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de clases tales que
contener un elemento implica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, comono vacía.
Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones...
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