Estructuras

Método de las Fuerzas: Estructura hiperestática con tensor
Determinar los esfuerzos de M Q y N para la siguiente estructura, aplicando el método de las fuerzas. Datos: �� = 2 ���� �� = 1 ���� ��

�� = 6 ����2

���� 0 = 210 ����/����2 ����0 = 2.100 ����/����2

Planteamos el sistema isostático fundamental: Observamos que el grado de hiperestaticidad de la estructura es de 2, por lo que setienen dos incógnitas hiperestáticas: ���� �� ���� En este caso hemos introducido una articulación en el empotramiento, convirtiéndolo así en un apoyo doble, por lo que el momento del empotramiento es considerado como redundante. La otra incógnita planteada es la de la reacción del tensor, como puede verse en la figura:

Aclaremos que, si bien generalmente en sistemas de alma llena se desprecianlas deformaciones debido a los esfuerzos normales y de corte, cuando se tienen estructuras con tensores las deformaciones de estos no deben despreciarse ya que su influencia es considerable. a) Cálculo de los diagramas de M y N en la estructura isostática: a.1) Para las cargas ���� :

Reacciones: 1 ���� 8�� 6�� + 2���� 12�� = 0 = �� 8�� 6�� + �� 12�� − ���� 10�� = 0 ⟹ ���� = �� = ��, ���� ����10�� 1���� 8�� + 2���� − 2,80���� = ��, ���� ���� ��

��(��)

���� = 0 = �� 8�� + �� − ���� − ������ = 0 ⟹ ������ = ���� = 0 ⟹ ������ = �� Esfuerzos M: ���� = ���� = 0

���� = ������ 2�� = 2,80���� 2�� = 5,60 ������ (tracciona abajo) ���� = ������ 6�� − �� ���� = ������ 10�� − �� 4�� 2
2

= 2,80���� 6�� −
2

1���� 4�� 2�� 2

2

= 8,80 ������ (tracciona abajo)
2

8�� 2

=2,80���� 10�� −

1���� 8�� 2�� 2

= −4,00 ������ (tracciona arriba)

a.2) Para la carga ���� :

Reacciones: ��(��) = 0 = ��1 − ������ 10�� = 0 ⟹ ������ =
1 ������

1 ������ = ��, �������� 10��

���� = 0 = ������ − ���� = 0 ⟹ ���� = ������ = ��, �������� ���� = 0 ⟹ ������ = ��

Esfuerzos M: ���� = −��1 = −1,00 ������ (tracciona arriba) ���� = ������ 2�� − ��1 = 0,10���� 2�� − 1 ������ =−0,80 ������ (tracciona arriba) ���� = ������ 6�� − ��1 = 0,10���� 6�� − 1 ������ = −0,40 ������ (tracciona arriba) ���� = ���� = 0

a.3) Para la carga ���� :

Reacciones: ��(��) = 0 = ��1 4�� − ������ 10�� = 0 ⟹ ������ =
1 ����

4 ������ = ��, �������� 10��

���� = 0 = ��1 − ������ − ���� = 0 ⟹ ���� = ��1 − ������ = 1���� − 0,40���� = ��, �������� ���� = 0 ⟹ ������ = �� Esfuerzos M: ���� =���� = ���� = 0 ���� = ������ 2�� = −0,40���� 2�� = −0,80 ������ (tracciona arriba) ���� = ������ 6�� = −0,40���� 6�� = −2,40 ������ (tracciona arriba)

b) Cálculo de los coeficientes �� = �� ���� : ������ = ������ = 20 ���� (30 ����)3 = 45.000 ���� 4 = ��0 12 20 ���� (50 ����)3 = 208.333,33 ����4 12 ⟹ ⟹ ������ = ��0 = 1 ������ = ������ = 4,63 ��0

c) Cálculo de las deformaciones ������ : Setrabajará con la siguiente expresión: ������ = ���� �� ��0 Es decir: ������ = 1 �� �� ���� + �� �� ��
������������������ ���� �� ��

���� ���� ���� ���� + ���� = ���� �� �� ������ Ωt

���� �� ��0 �� �� ���� + ���� �� �� �� ��

���� �� ��0 �� �� ���� ������ Ωt �� ��

���� �� ��0 �� �� ���� ������ Ωt �� ��
������������ ���� �� ��

Los módulos de elasticidad "��" son constantes para cada material,y por no variar la sección transversal del las piezas (al menos por tramos), los valores del momento de inercia �� también son constantes por tramos, por lo que ambos valores pueden salir de la integral: ������ = 1 �� ���� ���� ���� + ���� �� ��0 ������ Ωt ���� ���� ����

De esta manera podemos hacer uso de las tablas " Mi Mj dx " para determinar las deformaciones: ������ =
Barra
Longitud��

Diagramas

(m)

Integración

�� ��

������ ����

Resultado

AB

3,60

1,00

1 ������ ������ ������ ������ ������ 2�� ��1 + �� ��1 + �������� ��1 6 �� ������ + 2�������� ��1 �� = 1 −1,0 + 2 (−0,8) · 3,60 = 6 1 ����1 �� = 3 ��

2,928

BD

8,00

4,63

1 −0,80 · −8,80 · 8,00 = 3 · 4,63

0,369

������ · ���� · ������

��, ������

������ =
Barra...