Estudio cinematico de un robot paralelo

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David F. Morales Aldana 19 de octubre de 2011

0.1.

Premisas del modelo

El robot Delta es un manipulador de cadena cerrada como el de la figura 1, por lo cual los tres actuadores de este mecanismo trabajan en conjunto para producir los tres grados de libertad cartesianos. En un robot de arquitectura paralela es m´s dif´ calcular las ecuaciones cinem´ticas. Para simplificar el a ıcil amodelo y reducir el n´mero de par´metros, se realizan las siguientes premisas u a del modelo. La placa de viaje, siempre se mantiene paralela al plato base y su orientaci´n con respecto al eje perpendicular al plato base es constante. As´ o ı, las juntas de tipo parallelogramo (antebrazo) puede ser remplazado por simples varillas sin alterar el comportamiento cinem´tico del Robot. a Las revolutas(entre el plato base y la parte superior del brazo y entre el antebrazo y el plato viajero) son puestas id´nticamente en un c´ e ırculo inscrito en el plato base, as´ el plato viajero puede ser reemplazado por ı, un punto P, el cual conecta a los tres antebrazos.

Figura 1: Robot Delta donde el plato viajero siempre es paralelo al plato base. El marco de referencia est´ en el plato base a

0.2.Par´metros geom´tricos a e

El marco base es elegido en el centro del circulo, inscrito en el plato base, con el eje z apuntando hacia arriba y el eje x perpendicular al eje del motor 1. Debido a la simetr´ del robot Delta, cada brazo puede ser modelado por ıa separado. El nuevo modelo para uno de los brazos se muestra en la figura 2. El ´ ındice i es utilizado para identificar cada uno de los 3brazos; cada brazo est´ separado por un ´ngulo de 120◦ . Para cada brazo se elige un marco de a a

1

referencia diferente, localizado en el mismo lugar del marco base pero rotado α1 = 0◦ , α2 = 120◦ y α3 = 240◦ para cada uno de los brazos respectivamente. Los diferentes marcos de referencia est´n descritos por la matriz de rotaci´n a o Ai alrededor del eje z del marco de referencia. lamatriz de rotacion R0 esta dada por:   cos αi − sin αi 0 Ai cos αi 0  R0 =  sin αi (1) 0 0 1

Figura 2: Modelo simplificado del robot Delta. las suposiciones anteriores acerca de que los tres antebrazos pueden estar en un punto, nos permite considerar la distancia del marco de referencia base a uno de los motores como R = RA − RB . As´ los antebrazos est´n conectados ı a en un punto P . cada´ngulo de cada brazo superior tiene un valor inicial de a 0◦ , paralelo al eje x del marco de referencia base. El valor del ´ngulo θi se a incrementa cuando el brazo superior se mueve hacia abajo y disminuye cuando el brazo superior se mueve hacia arriba. El p´rametro lA representa la longitud a del brazo superior y el p´rametro lB representa la longitud del antebrazo. con a la informaci´n anterior, seestablece un modelo geom´trico directo e inverso, o e tambi´n llamados cinem´tica directa e inversa. e a

0.3.

Cinem´tica directa a

La cinem´tica directa determina la posicion (x, y, z) del plato viajero con a respecto del marco base, dadas las configuraciones de cada ´ngulo θi de las a revolutas actuadas. Considere 3 esferas con centro en el codo (P Ci) de cada cadena del brazo del robot,con las longitudes de los antebrazos lB como radios. El modelo de cinem´tica directa para un robot Delta puede entonces ser calcuado con la ayuda a de la intersecci´n de estas tres esferas. Cuando visualizamos las esferas, estas se o intersectan en 2 lugares. Un punto de intersecci´n donde z es positivo y el otro o donde z es negativo. Basado en el marco base, donde el eje z es positivo hacia

2 arriba, el TCP (Tool Center Point) ser´ la intersecci´n cuando el punto z sea a o negativo. Definimos cuatro marcos de referencia, como se muestra en la figura 1, una matriz homogenea [2], consta de una matriz de rotaci´n y la traslaci´n entre o o los dos marcos de referencia, de tal manera, las matrices homogeneas definidas para el robot Delta son:   cos αi − sin αi 0 0  sin αi cos αi 0 0...
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