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Conjuntos, aplicaciones y
´
numeros
En este cap´tulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teor´a de conı
ı
´
juntos que nos ser´ n muy utiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lua
gar recordamos las operaciones b´ sicas: pertenecia, uni´ n, intersecci´ n y diferena
o
o
cia. A continuaci´ n introducimos el producto cartesiano de 2 o m´ s conjuntos y
o
a
elconjunto potencia. Despu´ s recordamos el concepto de aplicaci´ n y sus difee
o
rentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ como la composici´ n de apliı
o
caciones. Dedicamos una secci´ n a los conjuntos finitos e infinitos, numerables y
o
no numerables, y finalizamos con una secci´ n dedicada a los n´ meros reales y sus
o
u
principales propiedades.

0.1.

Teor´a de conjuntosı

A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor´a demasiaı
do formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de la
asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra
parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al
menos una idea intuitiva bastante razonable.
Para avanzar un pocotambi´ n supondremos conocidos algunos conceptos b´ sicos
e
a
sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en muchos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducci´ n a la
o
Topolog´a de Espacios M´ tricos.
ı
e
19

20

0.1.1.

0.1. Teor´a de conjuntos
ı

Operaciones b´ sicas
a

Como siempre, fijaremos una notaci´ n b´ sica antes deempezar. La primera operaoa
ci´ n que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un
o
elemento a pertenece a un conjunto A escribiremos
a ∈ A,
mientras que utilizaremos el s´mbolo ∈ para indicar que el objeto a no es un
ı
elemento del conjunto A.
Utilizaremos la notaci´ n A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A son
o
tambi´ n elementos de B . Entonces se dir´que A es un subconjunto de B . Si
e
a
existe alg´ n elemento de B que no est´ en A, entonces diremos que A es un
u
a
subconjunto propio de B , y se representar´ como A B .
a
´
Cuando se trabaja en alguna de las areas de Matem´ ticas, normalmente se tiene
a
un conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto total, y que nosotros denotaremos habitualmente por X .Por ejemplo, en geometr´a
ı
eucl´dea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; en
ı
´
otras areas de las matem´ ticas, este conjunto puede ser el formado por todos los
a
n´ meros reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´a de Espacios M´ tricos
u
ı
e
ser´ un espacio m´ trico.
a
e
Dado un conjunto cualquiera A ⊂ X , definimos el complementario de A (en X),
y lo denotaremos por Ac o X − A, como el conjunto
Ac = X − A = { x ∈ X : x ∈ A} .
Es necesario recordar tambi´ n el concepto de conjunto vac´o, que representaree
ı
mos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ning´ n elemento; lo consideraremos
u
finito y supondremos que est´ contenido en cualquier otro conjunto. Adem´ s,
a
a
satisface las siguientes igualdades:
X − X = Xc = ∅

yX − ∅ = ∅c = X.

Dados dos conjuntos A y B , podemos definir tres operaciones elementales entre
ellos: la uni´ n, la intersecci´ n y la diferencia.
o
o
Uni´ n de conjuntos
o
La uni´ n de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
o
pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B }.
Los elementos que son comunes a ambos conjuntos nose duplican. Por ejemplo,
si A = {1, 2} y B = {2, 3}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3}. V´ ase la Figura 1.
e
Topolog´a de Espacios M´ tricos
ı
e

Pedro Jos´ Herrero Pi˜ eyro
e
n

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;;
;;;
;;
;;
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0. Conjuntos, aplicaciones y numeros

A

A

A

A

B

B

B

∪B

A

∩B

A −B

´
´
Figura 1 – Union, interseccion y diferencia de conjuntos.

Intersecci´ n...
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