Etica

Cap´ıtulo 1

Visita r´apida a las

Matem´aticas.

El c´alculo vectorial alcanzo su pleno desarrollo gracias a Jovial Gibbs, que en su libro Elements of Vector Analysis (1863) introdujo la notaci´on vectorial m´as comu´n en la actualidad. La gran claridad en la exposici´on de conceptos f´ısicos que permite dicho formalismo quedo plasmadapor James Clerk Maxwell en su obra maestra Treatise on Electricity and Magnetismo
(1873), donde sent´o las bases del electromagnetismo cl´asico.
Este cap´ıtulo presenta una introducci´on al c´alculo vectorial, integrales de l´ınea y superficie, y sistemas de coordenadas. Tras definir el concepto de vector, se explican las operaciones algebraicasb´asicas. A continuaci´on se estudian los operadores vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Por u´ltimo, se desarrollan los teoremas de Green y Stokes.

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1.1 ¿Qu´e es un vector?. 1

1.1. ¿Qu´e es un vector?.

Si deseamos tener toda la informaci´on
posible del viento (figura.(1.1)), no solo ne- cesitaremos conocer su intensidad, 60km/h
, adem´as es necesario saber su direcci´on y sentido. No es lo mismo para un velero que quiere llegar a puerto un viento de 60 km/h hacia el mar que hacia la costa.
Existen muchas magnitudes f´ısicas cuya descripci´on completa exige conocer su in- tensidad y direcci´on. Una forma de descri- bir un viento a 60 km/h de forma sencilla es mediante una flecha cuya longitud sea pro-porcional a su velocidad y que apunte en la direcci´on del viento. A estas flechas se las denomina vectores, y a las magnitudes que miden vectoriales.

V
60 km/h

Figura 1.1: Para conocer la ve- locidad del viento,~v, no es sufi- ciente con medir su intensidad o m´odulo, V = 60 km/h, adem´as es necesario conocer su direcci´on.Existen muchas magnitudes f´ısicas que se encuentran completamente determinadas con el valor de su intensidad, por ejemplo la temperatura,
T = 25o C. Estas magnitudes se las denominan escalares.

Esta forma gr´afica de representar un vector, si bien es muy u´til para visualizar la situaci´on f´ısica, dificulta la realizaci´on de c´alculos algebraicos. Laforma abreviada de representar un vector es mediante tres nu´meros, denominados componentes del vector, que indican cu´al es la longitud entre
el comienzo y el final del vector en las tres direcciones del espacio.

Lo primero que debemos hacer es elegir cu´al es la derecha e izquierda, cu´al es el arriba y el abajo, y d´onde est´a adelante y atr´as. Adem´as, debemos podermedir la longitud de los vectores. Esto es lo que se denomina elegir un sistema de coordenadas, el m´as simple de los cuales es el cartesiano. La figura.(1.2) muestra la m´as comu´n de todas las representaciones de un sistema de coordenadas cartesiano. Se elige la derecha, u orientaci´on positiva, como aquella en la que el eje Z tiene el sentido del dedopulgar de la mano derecha al cerrar el resto de los dedos desde el eje X positivo al eje Y positivo

°c M. A. Monge Dpto. F´ısica 2001-2002 Electromagnetismo

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(ver figura.(1.2)).
Una vez elegido nuestro sistema de coordenadas, solo hay que medir cu´al
es la longitud de nuestro vector en cada una de lasdirecciones para obtener las componentes del vector.

Z

V(x,y,z)

si n

v Y
Hay tres formas tradicionales de repre-
sentar un vector. La primera consiste en escribir las componentes del vector entre par´entesis separadas por comas, siendo la primera la componente del vector en la di- recci´on X , la segunda en la Y y la tercera en la Z ....