exame

LEEC
Exame de An´alise Matem´atica 3
10 de Janeiro de 2005

Justifique cuidadosamente todas as respostas.
N˜
ao ´
e permitida a utiliza¸
c˜
ao de m´
aquina de calcular.
O tempo para a realiza¸c˜ao desta prova ´e de 2 horas.
Cota¸
c˜
oes: Parte 1: Cada pergunta vale um valor.
Parte 2: Cada pergunta vale um valor e meio.
As respostas devem ser apresentadas nos seguintes quatrogrupos de folhas separadas, a
cada um dos quais est´
a associado uma folha dupla:
Grupo 1 - Perguntas 1 a 5; Grupo 2 - Perguntas 6 a 8;
Grupo 3 - Perguntas 9 a 12; Grupo 4 - Perguntas 13 a 16.
FLP JBS JDL

PARTE 1
1. Verifique quais das seguintes fun¸c˜oes s˜ao holomorfas
f (z) = Im(z) + iRe(z)
g(z) = Im(z) − iRe(z)
Resposta Como f (z) = Im(z) + iRe(z), com z = x + iy, tem-se f (x + iy) = y+ ix, logo u(x, y) =
Ref (z) = y e v(x, y) = Imf (z) = x.
∂u
∂v
As condi¸c˜oes de Cauchy-Riemann n˜ao s˜ao verificadas em nenhum ponto (x, y):
= 0 =
e
∂x
∂y
∂v
∂u
= 1 = −
= −1. Pelas condi¸c˜
oes de Cauchy-Riemann conclu´ı-se que a fun¸c˜
ao f (z) n˜ao ´e
∂y
∂x
deriv´avel em nenhum ponto, logo n˜ao ´e holomorfa em nenhum ponto.
Analogamente, como g(z) = Im(z) − iRe(z) tem-se g(x+ iy) = y − ix, logo u(x, y) = y e v(x, y) = −x.
Note-se que u e v s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis. As condi¸c˜
oes de C-R s˜ao neste caso verificadas para todo
∂v ∂u
∂v
∂u
=0=
e
= 1 = − . Conclu´ı-se que a fun¸c˜
ao g(z) ´e deriv´avel em C, logo
o ponto (x, y):
∂x
∂y ∂y
∂x
holomorfa em C.
3i 1 −it
+ e , t ∈ [0, 2π].
4
2
1
Usando a f´ormula de Cauchy, calcule o integral
dz.
2γ z(z + 1)

2. Esboce o caminho γ definido por γ(t) =

3i
1
Resposta O caminho γ ´e uma circunferˆencia centrada no ponto z =
e raio igual a percorrida no
4
2
1
1
sentido hor´ario. A fun¸c˜ao
=
´e holomorfa em C − {i, 0, −i}.
z(z 2 + 1)
z(z + i)(z − i)
Uma vez que apenas o ponto z = i est´
a no interior do conjunto delimitado pelo lacete γ, escolhe-se
1
f (z) =
para aplicarda f´ormula de Cauchy.
z(z + i)
1

Assim, obtem-se:

1
dz =
z(z 2 + 1)

γ

γ

f (z)
= −2πf (i) = πi.
z−i

O sinal negativo deve-se ao facto do sentido do caminho ser o oposto ao sentido directo.
∞

3. Estude a convergˆencia da s´erie

in
.
n
n=1

∞

Resposta Note-se que

∞
in
1
i
1
i
(−1)n
(−1)n+1
= i − − + + − ... =
+i
.
n
2 3 4 5
2n
2n − 1
n=1
n=1∞

∞
(−1)n
(−1)n+1
e
s˜
ao convergentes porque as sucess˜oes correspondentes s˜ao al2n
2n − 1
n=1
n=1
ternadas e de termo geral a convergir para zero.

Ambas s´eries

Logo, como uma s´erie complexa converge se e s´o se as s´eries associadas `a sua parte real e `a sua parte
∞ n
i
imagin´aria convergirem, a s´erie
´e convergente.
n
n=1
z+1
em s´erie de potˆencias em tornoda origem.
z+i
Qual o raio de convergˆencia?

4. Desenvolva a fun¸c˜ao f (z) =

Resposta Note que, dividindo os polin´omios do numerador e do denominador e alguma manipula¸c˜
ao,
∞
1−i
1−i 1
1
1
z+1
= 1+
= 1+
= 1 − (1 + i)
. Como
=
se tem f (z) =
in z n ,
z+i
z+i
i 1 − iz
1 − iz
1 − iz
n=0
tem-se que
∞
z+1
= −i − (1 + i)
in z n .
z+i
n=1
O desenvolvimento ´ev´alido no conjunto |z| < | − i|, logo o raio de convergˆencia ´e R = 1.

5. Aplicando o teorema dos res´ıduos, calcule o integral

+∞
−∞

x2

1
dx.
+ 2x + 2

1
. Observe-se que f tem como singularidades os pontos z = −1 + i
+ 2z + 2
e z = −1 − i. Uma vez que f n˜ao tem singularidades no eixo real do plano complexo, tem-se que

Resposta Seja f (z) =
+∞

−∞

f (x)dx =

γ

z2f (z)dz = 2πi

ao
Reszk f , onde os zk , k = 1, 2, . . ., s˜ao as singularidades da fun¸c˜
k

f (z) no semi-plano superior e γ ´e um lacete orientado no sentido directo e que engloba todo o semiplano superior. Logo,
simples,

+∞

−∞

f (x)dx = 2πi Res−1+i f . Como a singularidade z = −1 + i ´e um polo

Res−1+i f
Logo,

+∞
−∞

x2

=

lim

z→−1+i

1
1
=
z − (−1 −...