Examen Del Maestro

Función logarítmica
Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación

tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b espositivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.2 Este teorema establece que una función continua que produce dosvalores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.
Esta propiedad se puededemostrar que se cumple para la función f(x) = bx. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x0)y f(x1) para un adecuado x0 y x1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que lafunción f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).3
La única solución x es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La función que asigna acada y su logaritmo se llama función logaritmo ofunción logarítmica (o logaritmo a secas).
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde ees el número de Euler,aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivadaes la misma función. Se denota equivalentementecomo f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipoexponencial en base a si tiene la forma

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que...